2023届江苏省溧中、省扬中、镇江一中、江都中学高三第六次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 4．正项等差数列的前和为，已知，则=（ ） A．35 B．36 C．45 D．54 5．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） A．56 B．60 C．140 D．120 6．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D．1 7．函数的图象大致为（　　　 ） A． B． C． D． 8．已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则项系数为（ ） A．10 B．32 C．40 D．80 9．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A． B． C． D． 10．已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D． 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ） A． B． C． D． 12．已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则△的内切圆的半径为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若点在直线上，则的值等于______________ . 14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_________ ，该几何体的表面积为 _________． 15．已知函数，则下列结论中正确的是_________.①是周期函数；②的对称轴方程为，；③在区间上为增函数；④方程在区间有6个根. 16．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值. 18．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点. （Ⅰ）求证：平面平面； （ⅠⅠ）求直线与平面所成的角的正弦值. 19．（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表： 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时 合计 45 （1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”； （2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）； ②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式其中） 20．（12分）已知函数.若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点. （1）若a，且a≠0，证明：函数有局部对称点； （2）若函数在定义域内有局部对称点，求实数c的取值范围； （3）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围. 21．（12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，对角线交于点为棱的中点，．求证： （1）平面； （2）平面平面． 22．（10分）已知x，y，z均为正数． （1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz； （2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 设双曲线的左焦点为，连接，，，设，则，，，和中，利用勾股定理计算得到答案. 【题目详解】 设双曲线的左焦点为，连接，，， 设，则，，， ，根据对称性知四边形为矩形， 中：，即，解得； 中：，即，故，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 2、D 【答案解析】 试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D． 考点：数列的通项公式． 3、B 【答案解析】 根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程． 【题目详解】 ∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 4、C 【答案解析】 由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出. 【题目详解】 正项等差数列的前项和， ， ， 解得或（舍）， ，故选C. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系. 5、C 【答案解析】 试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用． 6、A 【答案解析】 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案. 【题目详解】 解：由于，根据导数的几何意义得： ， 即切线斜率， 当且仅当等号成立， 所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 7、A 【答案解析】 用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选. 【题目详解】 因为 , 所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除; 因为,故排除, 因为由图象知,排除. 故选:A 【答案点睛】 本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 8、D 【答案解析】 根据二项式定理通项公式可得常数项，然后二项式系数和，可得，最后依据，可得结果. 【题目详解】 由题可知： 当时，常数项为 又展开式的二项式系数和为 由 所以 当时， 所以项系数为 故选：D 【答案点睛】 本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题. 9、D 【答案解析】 根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【题目详解】 . 故选:D. 【答案点睛】 本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题. 10、A 【答案解析】 过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可. 【题目详解】 过作与准线垂直，垂足为，， 则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切， 易知此时直线的斜率存在，设切线方程为， 则.则， 则直线的方程为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 11、C 【答案解析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可． 【题目详解】 解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC， 正方体的棱长为2， 该几何体的表面积： ． 故选C． 【答案点睛】 本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键． 12、B 【答案解析】 设左焦点的坐标， 由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【题目详解】 由双曲线的方程可设左焦点，由题意可得， 由，可得， 所以双曲线的方程为: 所以， 所以 三角形ABF2的周长为 设内切圆的半径为r，所以三角形的面积， 所以， 解得， 故选：B 【答案点睛】 本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据题意可得，再由，即可得到结论. 【题目详解】 由题意，得，又，解得， 当时，则， 此时； 当时，则， 此时， 综上，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题. 14、； 【答案解析】 试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面，并且，，所以体积是，解得，四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是 考点：1．三视图；2．几何体的表面积． 15、①②④ 【答案解析】 由函数，对选项逐个验证即得答案. 【题目详解】 函数， 是周期函数，最小正周期为，故①正确； 当或时，有最大值或最小值，此时或，即或，即. 的对称轴方程为，，故②正确； 当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在区间上不是增函数，故③错误； 作出函数的部分图象，如图所示 方程在区间有6个根，故④正确. 故答案为：①②④. 【答案点睛】 本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题. 16、3 【答案解析】 作出可行域,可得当直线经过点时,取得最大值,求解即可. 【题目详解】 作出可行域（如下图阴影部分）,联立,可求得点, 当直线经过点时,. 故答案为:3.