2023届江苏省南师附中高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中，点在边上，平分，若，，，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知不重合的平面 和直线 ，则“ ”的充分不必要条件是（ ） A．内有无数条直线与平行 B． 且 C． 且 D．内的任何直线都与平行 3．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数的对称中心是 D．函数的对称轴是 4．若的展开式中的系数之和为，则实数的值为（ ） A． B． C． D．1 5．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ） A． B． C． D． 6．已知实数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 7．已知方程表示的曲线为的图象，对于函数有如下结论：①在上单调递减；②函数至少存在一个零点；③的最大值为；④若函数和图象关于原点对称，则由方程所确定；则正确命题序号为( ) A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 8．已知实数，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 9．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．8 10．已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 11．函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 12．双曲线的一条渐近线方程为，那么它的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在平面直角坐标系中，若函数在处的切线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_____． 14．已知为双曲线的左、右焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线的右支相交于点，若是上的一个靠近点的三等分点，且，则四边形的面积为_______． 15．已知椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于，若三角形的面积等于，则该椭圆的离心率为________. 16．已知，则______，______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, 底面 ,是的中点. （1）.求证:平面平面; （2）.若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值. 18．（12分）已知函数(). （1）讨论的单调性； （2）若对，恒成立，求的取值范围. 19．（12分）已知函数. （1）当时，求函数的值域. （2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围. 20．（12分）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点. （1）求椭圆方程； （2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标. 21．（12分）已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若函数的定义域为,求实数 的取值范围． 22．（10分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下： 满意 不满意 男 女 是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？ 若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券．若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率． 附表及公式：． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由平分，根据三角形内角平分线定理可得，再根据平面向量的加减法运算即得答案. 【题目详解】 平分，根据三角形内角平分线定理可得， 又，，，， . . 故选：. 【答案点睛】 本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 2、B 【答案解析】 根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【题目详解】 A. 内有无数条直线与平行，则相交或，排除； B. 且，故，当，不能得到 且，满足； C. 且，，则相交或，排除； D. 内的任何直线都与平行，故，若，则内的任何直线都与平行，充要条件，排除. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 3、B 【答案解析】 根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可. 【题目详解】 由图象可得，函数的周期，所以. 将点代入中，得，解得，由，可得，所以. 令，得， 故函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，故A正确； 令，得， 故函数在上单调递增. 当时，函数在上单调递增，故B错误； 令，得，故函数的对称中心是，故C正确； 令，得，故函数的对称轴是，故D正确. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 4、B 【答案解析】 由，进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数，令二者之和等于，可求出实数的值. 【题目详解】 由， 则展开式中的系数为，展开式中的系数为， 二者的系数之和为，得. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 5、D 【答案解析】 由函数的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于的方程，对赋值即可求解. 【题目详解】 由题意知，函数的最小正周期为,即, 由函数的图象平移变换公式可得， 将函数的图象向右平移个周期后的解析式为 ， 因为函数的图象关于轴对称， 所以，即， 所以当时，有最小正值为. 故选：D 【答案点睛】 本题考查函数的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 6、C 【答案解析】 利用不等式性质可判断，利用对数函数和指数函数的单调性判断. 【题目详解】 解：对于实数， ，不成立 对于不成立． 对于．利用对数函数单调递增性质，即可得出． 对于指数函数单调递减性质，因此不成立． 故选：． 【答案点睛】 利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 7、C 【答案解析】 分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性. 【题目详解】 （1）当时，，此时不存在图象； （2）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分； （3）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分； （4）当时，，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分； 画出的图象， 由图象可得： 对于①，在上单调递减，所以①正确； 对于②，函数与的图象没有交点，即没有零点，所以②错误； 对于③，由函数图象的对称性可知③错误； 对于④，函数和图象关于原点对称，则中用代替，用代替，可得，所以④正确. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想. 8、B 【答案解析】 根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出． 【题目详解】 解：∵， ∴，，． ∴． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9、D 【答案解析】 画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出. 【题目详解】 解：函数，如图所示 当时，， 由于关于的不等式恰有1个整数解 因此其整数解为3，又 ∴，，则 当时，，则不满足题意； 当时， 当时，，没有整数解 当时，，至少有两个整数解 综上，实数的最大值为 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题. 10、C 【答案解析】 利用复数相等的条件求得，，则答案可求． 【题目详解】 由，得，． 对应的点的坐标为，，． 故选：． 【答案点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 11、C 【答案解析】 根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项. 【题目详解】 ∵， ， ∴函数为奇函数， ∴排除选项A，B； 又∵当时，， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题. 12、D 【答案解析】 根据双曲线的一条渐近线方程为，列出方程，求出的值即可. 【题目详解】 ∵双曲线的一条渐近线方程为， 可得，∴， ∴双曲线的离心率. 故选：D. 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用导数的几何意义可求得函数在处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可. 【题目详解】 解：由条件得到 又 所以函数在处的切线为, 即 圆方程整理可得： 即有圆心且 所以圆心到直线的距离, 即.解得或, 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题. 14、60 【答案解析】 根据题中给的信息与双曲线的定义可求得与,再在中,由余弦定理求解得,继而得到各边的长度,再根据计算求解即可. 【题目详解】 如图所示：设双曲线的半焦距为. 因为,,,所以由勾股定理,得. 所以. 因为是上一个靠近点的三等分点,是的中点,所以. 由双曲线的定义可知：,所以. 在中,由余弦定理可得 ,所以,整理可得. 所以,解得.所以. 则.则,得. 则的底边上的高为. 所以 . 故答案为：60 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量的关系.属于难题. 15、 【答案解析】 由题得直线的方程为，代入椭圆方程得：， 设点，则有，由 ，且解出，进而求解出离心率. 【题目详解】 由题知，直线的方程为，代入消得： ， 设点，则有， ， 而，又， 解得：，所以离心率. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力 16、 【答案解析】 利用两角和的正切公式结合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值，进而利用两角差的余弦公式求出的值. 【题目详解】 ， ， ， . 故答案为：；. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，