2023届江苏省常州市省常中高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A．8年 B．9年 C．10年 D．11年 2．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ） A． B． C． D． 3．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，若点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A． B． C． D． 6．偶函数关于点对称，当时，，求（ ） A． B． C． D． 7．使得的展开式中含有常数项的最小的n为( ) A． B． C． D． 8．函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 9．函数的定义域为（　　） A．[，3）∪（3，+∞） B．（-∞，3）∪（3，+∞） C．[，+∞） D．（3，+∞） 10．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ） A．4 B． C． D． 11．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知等比数列满足，，则该数列的前5项的和为______________. 14．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图： 由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多______天. 15．已知，则=___________，_____________________________ 16．在平面直角坐标系中，已知圆及点，设点是圆上的动点，在中，若的角平分线与相交于点，则的取值范围是_______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值． （1）求的解析式； （2）作出在上的图象（要列表）． 18．（12分）已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求的值. 19．（12分）已知函数，不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若，，，求证：. 20．（12分）已知非零实数满足． （1）求证：； （2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围； 若不存在，请说明理由 21．（12分）已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）的角的对边分别为且，，求边上的高的最大值. 22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线和曲线的极坐标方程； （2）已知射线与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案. 【题目详解】 依题意在回归直线上， ， 由， 估计第年维修费用超过15万元. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题. 2、D 【答案解析】 设，则，小正六边形的边长为，利用余弦定理可得大正六边形的边长为，再利用面积之比可得结论. 【题目详解】 由题意，设，则，即小正六边形的边长为， 所以，，，在中， 由余弦定理得， 即，解得， 所以，大正六边形的边长为， 所以，小正六边形的面积为， 大正六边形的面积为， 所以，此点取自小正六边形的概率. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 3、A 【答案解析】 设直线为，用表示出，，求出，令，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出的最小值． 【题目详解】 解：设直线为，则，， 而满足， 那么 设，则，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 故选：． 【答案点睛】 本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题． 4、B 【答案解析】 通过抛物线的定义，转化，要使有最小值，只需最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【题目详解】 解：由题意可知，抛物线的准线方程为，， 过作垂直直线于， 由抛物线的定义可知，连结，当是抛物线的切线时，有最小值，则最大，即最大，就是直线的斜率最大， 设在的方程为：，所以， 解得：， 所以，解得， 所以， ． 故选：． 【答案点睛】 本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题． 5、B 【答案解析】 甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B． 6、D 【答案解析】 推导出函数是以为周期的周期函数，由此可得出，代值计算即可. 【题目详解】 由于偶函数的图象关于点对称，则，， ，则， 所以，函数是以为周期的周期函数， 由于当时，，则. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 7、B 【答案解析】 二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用． 8、A 【答案解析】 根据排除，，利用极限思想进行排除即可． 【题目详解】 解：函数的定义域为，恒成立，排除，， 当时，，当，，排除， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题． 9、A 【答案解析】 根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【题目详解】 因为函数， 解得且； 函数的定义域为, 故选A． 【答案点睛】 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 10、D 【答案解析】 试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D. 考点：线性规划. 11、B 【答案解析】 先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【题目详解】 双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x， ∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍， ∴kl， ∴直线l的方程为y（x﹣c）， 与y＝±x联立，可得y或y， ∵， ∴2•， ∴ab， ∴c＝2b， ∴e． 故选B． 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 12、D 【答案解析】 由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式. 【题目详解】 由图象可得，函数的最小正周期为，. 将点代入函数的解析式得，得， ，，则，， 因此，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、31 【答案解析】 设，可化为，得，，， 14、72 【答案解析】 根据给定的茎叶图，得到游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案. 【题目详解】 由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中， 游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天， 所以在全年）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多天. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15、−196 −3 【答案解析】 由二项式定理及二项式展开式通项得：，令x=1，则1+a0+a1+…+a7=（1+1）×（1-2）7=-2，所以a0+a1+…+a7=-3，得解． 【题目详解】 由二项式(1−2x)7展开式的通项得， 则， 令x=1,则， 所以a0+a1+…+a7=−3， 故答案为：−196，−3. 【答案点睛】 本题考查二项式定理及其通项，属于中等题. 16、 【答案解析】 由角平分线成比例定理推理可得，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径. 【题目详解】 由题可构建如图所示的图形，因为AQ是的角平分线，由角平分线成比例定理可知,所以. 设点，点，即， 则， 所以. 又因为点是圆上的动点， 则， 故点Q的运功轨迹是以为圆心为半径的圆， 又即为该圆上的点与原点间的距离， 因为，所以 故答案为： 【答案点睛】 本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）见解析. 【答案解析】 （1）根据函数的最小正周期可求出的值，由该函数的最大值可得出的值，再由，结合的取值范围可求得的值，由此可得出函数的解析式； （2）由计算出的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数在区间上的图象. 【题目详解】 （1）因为函数的最小正周期是，所以． 又因为当时，函数取得最大值，所以， 同时，得， 因为，所以，所以； （2）因为，所以， 列表如下：