2023届山西省朔州市怀仁市重点中学高三下学期第一次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，，，若，则实数( ) A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（ ） A． B． C． D． 3．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） A．56 B．60 C．140 D．120 4．已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A． B． C． D． 5．已知复数，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（ ） A． B． C． D． 7．设复数满足，在复平面内对应的点为，则不可能为（ ） A． B． C． D． 8．已知数列的前项和为，且，，则( ) A． B． C． D． 9．函数的图象如图所示,则它的解析式可能是( ) A． B． C． D． 10．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ） A． B． C． D． 11．复数（ ）． A． B． C． D． 12．设a，b，c为正数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不修要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为______. 14．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__． 15．若，则________，________. 16．已知抛物线，点为抛物线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，则线段长度的取值范围为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）讨论的零点个数； （2）证明：当时，. 18．（12分）如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点. （1）求证：； （2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值. 19．（12分）为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照、、、、分组，绘成频率分布直方图如图： （1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数； （2）从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望. 20．（12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）对及，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21．（12分）已知x∈R，设，，记函数. （1）求函数取最小值时x的取值范围； （2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求△ABC的面积S的最大值. 22．（10分）已知矩阵,二阶矩阵满足. （1）求矩阵; （2）求矩阵的特征值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 将、用、表示，再代入中计算即可. 【题目详解】 由，知为的重心， 所以，又， 所以， ，所以，. 故选：D 【答案点睛】 本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题. 2、A 【答案解析】 根据线面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【题目详解】 由已知平面，，可得，从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法，而选取的个表面互相垂直的有种情况，故所求事件的概率为． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数． 3、C 【答案解析】 试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用． 4、B 【答案解析】 选B. 考点：圆心坐标 5、B 【答案解析】 分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以 ，化简整理得 详解： ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题. 6、B 【答案解析】 利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果. 【题目详解】 为定义在上的奇函数，. 当时，，， 为奇函数，， 由得：或； 综上所述：若，则的解集为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况. 7、D 【答案解析】 依题意，设，由，得，再一一验证. 【题目详解】 设， 因为， 所以， 经验证不满足， 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题. 8、C 【答案解析】 根据已知条件判断出数列是等比数列，求得其通项公式，由此求得. 【题目详解】 由于，所以数列是等比数列，其首项为，第二项为，所以公比为.所以，所以. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题. 9、B 【答案解析】 根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除. 【题目详解】 根据函数图象得定义域为，所以不合题意； 选项，计算，不符合函数图象； 对于选项， 与函数图象不一致； 选项符合函数图象特征. 故选：B 【答案点睛】 此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法. 10、A 【答案解析】 由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论． 【题目详解】 解：依题意，设． 则． ，． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为． 则， ． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11、A 【答案解析】 试题分析：，故选A. 【考点】复数运算 【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 12、B 【答案解析】 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【题目详解】 解：，，为正数， 当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立， 若，则，即， 即，即，成立，即必要性成立， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 化简得到，，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案. 【题目详解】 ，即，，故. 根据余弦定理：，即. 当时等号成立，故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 14、 【答案解析】 由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案. 【题目详解】 满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有种情况；②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有种情况，又从中任意摸取3个小球，有种情况，所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力. 15、 【答案解析】 根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案. 【题目详解】 ，故. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于简单题. 16、 【答案解析】 连接，易得，可得四边形的面积为，从而可得，进而求出的取值范围，可求得的范围. 【题目详解】 如图，连接，易得，所以四边形的面积为，且四边形的面积为三角形面积的两倍，所以，所以， 当最小时，最小，设点，则， 所以当时，，则， 当点的横坐标时，，此时， 因为随着的增大而增大，所以的取值范围为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析（2）见解析 【答案解析】 （1）求出，分别以当，，时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令，结合导数求出；同理可求出满足，从而可得，进而证明. 【题目详解】 解析：（1），， 当时，，单调递减，，，此时有1个零点； 当时，无零点； 当时，由得，由得，∴在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值， 若，则，此时没有零点； 若，则，此时有1个零点； 若，则，，求导易得，此时在，上各有1个零点. 综上可得时，没有零点，或时，有1个零点，时，有2个零点. （2）令，则，当时，；当时，，∴. 令，则， 当时，，当时，，∴， ∴，，∴，即. 【答案点睛】 本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明. 18、（1）证明见解析（2） 【答案解析】 （1）先证明EF平面，即可求证； （2）根据二面角的余弦值，可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可. 【题目详解】 （1）连接，交于点， 连结.则， 故面. 又面， 因此. （2）由（1）知即为二面角的平面角， 且. 在中应用余弦定理