2023届山西省夏县中学高三第六次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是 A． B． C． D． 2．设分别为的三边的中点，则（ ） A． B． C． D． 3．将函数向左平移个单位，得到的图象，则满足（ ） A．图象关于点对称，在区间上为增函数 B．函数最大值为2，图象关于点对称 C．图象关于直线对称，在上的最小值为1 D．最小正周期为，在有两个根 4．已知α，β是两平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确命题是（ ） A．若m⊥α，n//α，则m⊥n B．若m//α，n//α，则m//n C．若l⊥α，l//β，则α⊥β D．若α//β，lβ，且l//α，则l//β 5．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ） （附：若随机变量ξ服从正态分布，则， ．） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 6．如图，长方体中，，，点T在棱上，若平面.则（ ） A．1 B． C．2 D． 7．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ） A．2 B．3 C．7 D．8 8．若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．不等式的解集记为，有下面四个命题：；；；.其中的真命题是（ ） A． B． C． D． 10．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ） A． B． C． D． 11．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ） A． B． C． D． 12．集合，，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为__________. 14．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__． 15．已知集合，则____________. 16．已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且． （1）求证：平面； （2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线与曲线交于两点. (1)求的长； (2)在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离. 19．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切． （1）求圆的方程； （2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 20．（12分）已知数列满足（），数列的前项和，（），且，． （1）求数列的通项公式： （2）求数列的通项公式． （3）设，记是数列的前项和，求正整数，使得对于任意的均有． 21．（12分）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，设，证明：，，使. 22．（10分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点. （1）当时，求M点的极坐标； （2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解. 【题目详解】 根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数， 得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x）， ∴b=0，∴a+b=．故选B． 【答案点睛】 本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数． 2、B 【答案解析】 根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解. 【题目详解】 根据题意,可得几何关系如下图所示: , 故选:B 【答案点睛】 本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题. 3、C 【答案解析】 由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【题目详解】 函数， 则， 将向左平移个单位， 可得， 由正弦函数的性质可知，的对称中心满足，解得，所以A、B选项中的对称中心错误； 对于C，的对称轴满足，解得，所以图象关于直线对称；当时，，由正弦函数性质可知，所以在上的最小值为1，所以C正确； 对于D，最小正周期为，当，，由正弦函数的图象与性质可知，时仅有一个解为，所以D错误； 综上可知，正确的为C， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题. 4、B 【答案解析】 根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性. 【题目详解】 A．若，则在中存在一条直线，使得，则，又，那么，故正确； B．若，则或相交或异面，故不正确； C．若，则存在，使，又，则，故正确． D．若，且，则或，又由，故正确． 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题. 5、B 【答案解析】 试题分析：由题意 故选B． 考点：正态分布 6、D 【答案解析】 根据线面垂直的性质，可知；结合即可证明，进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得. 【题目详解】 长方体中，， 点T在棱上，若平面. 则， 则，所以， 则， 所以 ， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 7、C 【答案解析】 先确定集合中元素，可得非空子集个数． 【题目详解】 由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个． 8、A 【答案解析】 取，得到，取，则，计算得到答案. 【题目详解】 取，得到；取，则. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了二项式定理的应用，取和是解题的关键. 9、A 【答案解析】 作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果. 【题目详解】 作出可行域如图所示，当时，，即的取值范围为，所以为真命题； 为真命题；为假命题. 故选：A 【答案点睛】 此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题. 10、C 【答案解析】 根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n的值，进而求解的值，得到答案. 【题目详解】 由题意，， 第1次循环，，满足判断条件； 第2次循环，，满足判断条件； 第3次循环，，满足判断条件； 可得的值满足以3项为周期的计算规律， 所以当时，跳出循环，此时和时的值对应的相同，即. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 11、C 【答案解析】 画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比. 【题目详解】 作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为. 故选： 【答案点睛】 解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题. 12、A 【答案解析】 计算，再计算交集得到答案. 【题目详解】 ，，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了交集运算，属于简单题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，由此能求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率． 【题目详解】 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数， 抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，分别为： ，，，，，，，，，， 则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，求解时注意辨别概率的模型． 14、 【答案解析】 由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案. 【题目详解】 满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有种情况；②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有种情况，又从中任意摸取3个小球，有种情况，所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力. 15、 【答案解析】 根据并集的定义计算即可. 【题目详解】 由集合的并集，知. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查集合的并集运算，属于容易题. 16、2 【答案解析】 运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果. 【题目详解】 抛物线的标准方程为：，则抛物线的准线方程为，设，，则，所以，则线段中点的纵坐标为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2）. 【答案解析】 （1）根据菱形的特征和题中条件得到平面，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明； 2建立空间直角坐标系，利用向