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2023
山东省
济宁市
鱼台县
第一
中学
月份
第一次
模拟考试
数学试卷
解析
2023学年高考数学模拟测试卷
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若的内角满足,则的值为( )
A. B. C. D.
2.设,,,则( )
A. B. C. D.
3.已知集合,,则为( )
A. B. C. D.
4.双曲线C:(,)的离心率是3,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距为( )
A.3 B. C.6 D.
5.等差数列中,已知,且,则数列的前项和中最小的是( )
A.或 B. C. D.
6.设抛物线上一点到轴的距离为,到直线的距离为,则的最小值为( )
A.2 B. C. D.3
7.如图,在中,点M是边的中点,将沿着AM翻折成,且点不在平面内,点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等,则直线经过的( )
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
8.已知复数满足(是虚数单位),则=( )
A. B. C. D.
9.已知是虚数单位,则复数( )
A. B. C.2 D.
10.函数的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
11.若均为任意实数,且,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是_________.
14.已知数列的前项和为,,且满足,则数列的前10项的和为______.
15.已知三棱锥,,是边长为4的正三角形,,分别是、的中点,为棱上一动点(点除外),,若异面直线与所成的角为,且,则______.
16.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(""表示一根阳线,""表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知圆的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是是参数),若直线与圆相切,求实数的值.
18.(12分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,,分别为,的中点.
(1)求证:.
(2)若,求二面角的余弦值.
19.(12分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,在锐角中,E是边PD上一点,且.
(1)求证:平面ACE;
(2)当PA的长为何值时,AC与平面PCD所成的角为?
20.(12分)已知圆O经过椭圆C:的两个焦点以及两个顶点,且点在椭圆C上.
求椭圆C的方程;
若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且,求直线l的倾斜角.
21.(12分)已知椭圆的焦点在轴上,且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设,过椭圆右焦点的直线交于、两点,若对满足条件的任意直线,不等式恒成立,求的最小值.
22.(10分)已知椭圆:的离心率为,右焦点为抛物线的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)为坐标原点,过作两条射线,分别交椭圆于、两点,若、斜率之积为,求证:的面积为定值.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【答案解析】
由,得到,得出,再结合三角函数的基本关系式,即可求解.
【题目详解】
由题意,角满足,则,
又由角A是三角形的内角,所以,所以,
因为,
所以.
故选:A.
【答案点睛】
本题主要考查了正弦函数的性质,以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题,着重考查了推理与计算能力.
2、A
【答案解析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.
【题目详解】
,,,因此,故选:A.
【答案点睛】
本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.
3、C
【答案解析】
分别求解出集合的具体范围,由集合的交集运算即可求得答案.
【题目详解】
因为集合,,
所以
故选:C
【答案点睛】
本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算,考查基本运算能力.
4、A
【答案解析】
根据焦点到渐近线的距离,可得,然后根据,可得结果.
【题目详解】
由题可知:双曲线的渐近线方程为
取右焦点,一条渐近线
则点到的距离为,由
所以,则
又
所以
所以焦距为:
故选:A
【答案点睛】
本题考查双曲线渐近线方程,以及之间的关系,识记常用的结论:焦点到渐近线的距离为,属基础题.
5、C
【答案解析】
设公差为,则由题意可得,解得,可得.令 ,可得 当时,,当时,,由此可得数列前项和中最小的.
【题目详解】
解:等差数列中,已知,且,设公差为,
则,解得 ,
.
令 ,可得,故当时,,当时,,
故数列前项和中最小的是.
故选:C.
【答案点睛】
本题主要考查等差数列的性质,等差数列的通项公式的应用,属于中档题.
6、A
【答案解析】
分析:题设的直线与抛物线是相离的,可以化成,其中是点到准线的距离,也就是到焦点的距离,这样我们从几何意义得到的最小值,从而得到的最小值.
详解:由①得到,,故①无解,
所以直线与抛物线是相离的.
由,
而为到准线的距离,故为到焦点的距离,
从而的最小值为到直线的距离,
故的最小值为,故选A.
点睛:抛物线中与线段的长度相关的最值问题,可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.
7、A
【答案解析】
根据题意到两个平面的距离相等,根据等体积法得到,得到答案.
【题目详解】
二面角与二面角的平面角相等,故到两个平面的距离相等.
故,即,两三棱锥高相等,故,
故,故为中点.
故选:.
【答案点睛】
本题考查了二面角,等体积法,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
8、A
【答案解析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【题目详解】
解:由,得,
.
故选.
【答案点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
9、A
【答案解析】
根据复数的基本运算求解即可.
【题目详解】
.
故选:A
【答案点睛】
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.
10、A
【答案解析】
根据函数解析式,可知的定义域为,通过定义法判断函数的奇偶性,得出,则为偶函数,可排除选项,观察选项的图象,可知代入,解得,排除选项,即可得出答案.
【题目详解】
解:因为,
所以的定义域为,
则,
∴为偶函数,图象关于轴对称,排除选项,
且当时,,排除选项,所以正确.
故选:A.
【答案点睛】
本题考查由函数解析式识别函数图象,利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.
11、D
【答案解析】
该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题,可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题,结合图形,可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决,从而求得切点坐标,即满足条件的点,代入求得结果.
【题目详解】
由题意可得,其结果应为曲线上的点与以为圆心,以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值,可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值,在曲线上取一点,曲线有在点M处的切线的斜率为,从而有,即,整理得,解得,所以点满足条件,其到圆心的距离为,故其结果为,
故选D.
【答案点睛】
本题考查函数在一点处切线斜率的应用,考查圆的程,两条直线垂直的斜率关系,属中档题.
12、D
【答案解析】
当时,函数周期为,画出函数图像,如图所示,方程两个不同实根,即函数和有图像两个交点,计算,,根据图像得到答案.
【题目详解】
当时,,故函数周期为,画出函数图像,如图所示:
方程,即,即函数和有两个交点.
,,故,,,,.
根据图像知:.
故选:.
【答案点睛】
本题考查了函数的零点问题,确定函数周期画出函数图像是解题的关键.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、
【答案解析】
试题分析:当时,,则.又因为为偶函数,所以,所以,则,所以切线方程为,即.
【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时,函数,则当时,求函数的解析式”.有如下结论:若函数为偶函数,则当时,函数的解析式为;若为奇函数,则函数的解析式为.
14、1
【答案解析】
由得时,,两式作差,可求得数列的通项公式,进一步求出数列的和.
【题目详解】
解:数列的前项和为,,且满足,①
当时,,②
①-②得:,
整理得:(常数),
故数列是以为首项,2为公比的等比数列,
所以(首项不符合通项),
故,
所以:,
故答案为:1.
【答案点睛】
本题主要考查数列的通项公式的求法及应用,数列的前项和的公式,属于基础题.
15、
【答案解析】
取的中点,连接,,取的中点,连接,,,直线与所成的角为,计算,,根据余弦定理计算得到答案。
【题目详解】
取的中点,连接,,依题意可得,,
所以平面,所以,
因为,分别、的中点,所以,因为,所以,
所以平面,故,故,
故两两垂直。
取的中点,连接,,,因为,
所以直线与所成的角为,
设,则,
,
所以,
化简得,解得,即.
故答案为:.
【答案点睛】
本题考查了根据异面直线夹角求长度,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
16、
【答案解析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个,还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴,或两卦全是1阳2阴。
【题目详解】
八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个,全为阴线的一个,1阴2阳的3个,1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴,或两卦全是1阳2阴。
∴从8个卦中任取2卦,共有种可能,两卦中共2阳4阴的情况有,所求概率为。
故答案为:。
【答案点睛】
本题考查古典概型,解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响,我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数,这样才能正确地确定基本事件的个数。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【答案解析】
将圆的极坐标方程化为直角坐标方程,直线的参数方程化为普通方程,再根据直线与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求实数的值.
【题目详解】
由,得,
, 即圆的方程为,
又由消,得,
直线与圆相切,,.
【答案点睛】
本题重点考查方程的互化,考查直线与圆的位置关系,解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.
18、(1)见解析(2)
【答案解析】
(1)由已知可证明平面,从而得证面面垂直,再由,得线面垂直,从而得,由直角三角形得结论;
(2)以为轴建立空间直角坐标系,用空间向量法示二面角.
【题目详解】
(1)证明:连接,,.
,,