2023届山东省济南市高三第一次调研测试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知中，，则（ ） A．1 B． C． D． 3．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ） A．（0，1）∪（1，e） B． C． D．（0，1） 4．设集合，，则( ) A． B． C． D． 5．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（ ） A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B．天津的往返机票平均价格变化最大 C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当 D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 6．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ） A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点 C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点 7．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（ ） A． B． C． D． 8．已知，，则等于（ ）． A． B． C． D． 9．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（ ） A．128 B．65 C．64 D．63 10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( ) A． B． C． D． 11．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是　　 A． B． C． D． 12．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是( ) A．1 B．2 C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__________. 14．已知，为双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上存在点满足，则的最大值为________． 15．已知向量，，则______. 16．在等比数列中，，则________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知曲线的参数方程为 为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹； （2）若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离. 18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为． （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设点，直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求的值． 19．（12分）在以为顶点的五面体中，底面为菱形，，，，二面角为直二面角. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 20．（12分）已知，. （1）解； （2）若，证明：. 21．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，E是边PD上一点，且. （1）求证：平面ACE； （2）当PA的长为何值时，AC与平面PCD所成的角为？ 22．（10分）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥． (Ⅰ)求证：平面平面． (Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围. 【题目详解】 解： 令，解得对称轴，， 又函数在区间恰有个极值点，只需 解得． 故选：． 【答案点睛】 本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题. (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 2、C 【答案解析】 以为基底，将用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解. 【题目详解】 , , . 故选:C. 【答案点睛】 本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题. 3、D 【答案解析】 原问题转化为有四个不同的实根，换元处理令t，对g（t）进行零点个数讨论. 【题目详解】 由题意，a＞2，令t， 则f（x）＝a⇔⇔ ⇔⇔． 记g（t）． 当t＜2时，g（t）＝2ln（﹣t）（t）单调递减，且g（﹣2）＝2， 又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根． 则⇔， 记h（t）（t＞2且t≠2）， 则h′（t）． 令φ（t），则φ′（t）2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2． ∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h（t）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由，可得，即a＜2． ∴实数a的取值范围是（2，2）． 故选：D． 【答案点睛】 此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题. 4、D 【答案解析】 利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【题目详解】 由题意知,集合,, 由集合的交运算可得,. 故选:D 【答案点睛】 本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 5、D 【答案解析】 根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项. 【题目详解】 对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确. 对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确. 对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确. 对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题. 6、A 【答案解析】 根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上. 【题目详解】 ,， , 又，, 平面,又平面 ， 故在以为直径的圆上， 又是内异于的动点， 所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题. 7、B 【答案解析】 画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【题目详解】 作出中在圆内部的区域，如图所示， 因为直线，的倾斜角分别为，， 所以由图可得取自的概率为. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题. 8、B 【答案解析】 由已知条件利用诱导公式得，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案. 【题目详解】 由题意得 ， 又，所以，结合解得， 所以 ， 故选B. 【答案点睛】 本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题. 9、D 【答案解析】 根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求. 【题目详解】 因为， 所以， 所以， 所以数列是等比数列， 又因为， 所以， . 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10、D 【答案解析】 根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【题目详解】 根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题. 11、B 【答案解析】 该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为， . 故选B 点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 12、C 【答案解析】 画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 【题目详解】 不等式表示的平面区域如图： 直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，，，，所以阴影部分面积. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据题意，分离参数，转化为只对于内的任意恒成立，令，则只需在定义域内即可，利用放缩法，得出，化简后得出，即可得出的取值范围. 【题目详解】 解：已知对于定义域内的任意恒成立， 即对于内的任意恒成立， 令，则只需在定义域内即可， ， ，当时取等号， 由可知，，当时取等号， ， 当有解时， 令，则， 在上单调递增， 又，， 使得， ， 则， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力. 14、 【答案解析】 设，由可得，整理得，即点在以为圆心，为半径的圆上．又点到双曲线的渐近线的距离为，所以当双曲线的渐近线与圆相切时，取得最大值，此时，解得． 15、 【答案解析】 求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算． 【题目详解】 由题意得，.，. ，， . 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算． 16、1 【答案解析】 设等比数列的公比为,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得即可. 【题目详解】 设等比数列的公比为.由,得,解得.又由,得.则. 故答案为：1 【答案点睛】 本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1），表示圆心为，半径为的圆；（2） 【答案解析】 （1）根据参数得到直角坐标系方程，再转化为极坐标方程得到答案. （2）直线方程为，计算圆心到直线的距离加上半径得到答案. 【题目详解】 （1），即，化简得到：. 即，表示圆心为，半径为的圆. （2），即，圆心到