2023届江西省六校高三第一次调研测试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82 95 90 93 90 85 80 77 99 68 如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ） A． B． C． D． 3．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ） 附：若，则，. A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.9544 4．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ） A．1 B． C． D． 5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ） （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，） A． B． C． D． 6．设集合，，则( ) A． B． C． D． 7．已知，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．已知，则下列说法中正确的是（ ） A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是假命题 10．设则以线段为直径的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 11．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 12．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄里克雷函数.则关于有以下结论: ①的值域为; ②; ③; ④ 其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号) 14．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________． 15．已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________. 16．设，满足约束条件，若的最大值是10，则________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为． （1）求线段长的最小值； （2）求点的轨迹方程． 18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为. （1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标. 19．（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为（），直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求r的值. 20．（12分）直线与抛物线相交于，两点，且，若，到轴距离的乘积为． （1）求的方程； （2）设点为抛物线的焦点，当面积最小时，求直线的方程． 21．（12分）已知函数，. （Ⅰ）判断函数在区间上零点的个数，并证明； （Ⅱ）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，证明： 22．（10分）如图，在棱长为的正方形中，，分别为，边上的中点，现以为折痕将点旋转至点的位置，使得为直二面角． （1）证明：； （2）求与面所成角的正弦值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值. 【题目详解】 由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 2、C 【答案解析】 画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果． 【题目详解】 画出图形，如下图． 选取为基底，则， ∴． 故选C． 【答案点睛】 应用平面向量基本定理应注意的问题 （1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便． （2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算． 3、C 【答案解析】 根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【题目详解】 由题意，，，则，， 所以，. 故果实直径在内的概率为0.8185. 故选：C 【答案点睛】 本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 4、C 【答案解析】 对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案. 【题目详解】 对任意的总有恒成立 ，对恒成立， 令， 可得 令，得 当， 当 ，， 故 令，得 当时， 当， 当时， 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题. 5、C 【答案解析】 由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出． 【题目详解】 由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为 据题意得：， 解得2n＝12， ∴n21． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6、D 【答案解析】 利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【题目详解】 由题意知,集合,, 由集合的交运算可得,. 故选:D 【答案点睛】 本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 7、B 【答案解析】 ,选B 8、C 【答案解析】 将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围. 【题目详解】 依题意 ， 则， 当时，，故函数在上单调递增， 当时，； 而函数在上单调递减， 故， 则只需， 故，解得， 故实数的取值范围为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题. 9、D 【答案解析】 举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案． 【题目详解】 当时，故命题为假命题； 记f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex， 易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增， ∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命题为真命题； ∴是假命题 故选D 【答案点睛】 本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题． 10、A 【答案解析】 计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程. 【题目详解】 的中点坐标为：，圆半径为， 圆方程为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 11、B 【答案解析】 由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果. 【题目详解】 由题意知：定义域为， ，为偶函数， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，则在上单调递减， 由得：，解得：或， 的取值范围为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式. 12、D 【答案解析】 集合．为自然数集，由此能求出结果． 【题目详解】 解：集合．为自然数集， 在A中，，正确； 在B中，，正确； 在C中，，正确； 在D中，不是的子集，故D错误． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、② 【答案解析】 根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③，由定义求得比小的有理数个数，即可确定④. 【题目详解】 对于①，由定义可知，当为有理数时；当为无理数时，则值域为，所以①错误； 对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足，所以②正确； 对于③，因为，当为无理数时，可以是有理数，也可以是无理数，所以③错误； 对于④，由定义可知 ，所以④错误； 综上可知，正确的为②. 故答案为：②. 【答案点睛】 本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题. 14、6 12π﹣9 【答案解析】 过作，交于，先求得圆心角的弧度数，然后解解三角形求得的长.利用扇形面积减去三角形的面积，求得弧田的面积. 【题目详解】 ∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分. ∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6， ∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6， ∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9． 故答案为：6，12π﹣9． 【答案点睛】 本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题. 15