2023届江苏省南通市南通第一中学高三（最后冲刺）数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（　　） A． B． C． D． 3．的展开式中的一次项系数为（ ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ） A．4π B．8π C． D． 5．已知直线是曲线的切线，则（ ） A．或1 B．或2 C．或 D．或1 6．已知集合A，B=,则A∩B= A． B． C． D． 7．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ） A． B． C． D． 8．已知向量，，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 9．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数,则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 11．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ） A． B． C．2 D． 12．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A． B．2 C． D．1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为__________. 14．三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________. 15．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为_________. 16．函数在处的切线方程是____________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，平面四边形中，，是上的一点，是的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点． （1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）若点的极坐标为，，求的值． 19．（12分）已知函数. （1）讨论函数f(x)的极值点的个数； （2）若f(x)有两个极值点证明. 20．（12分）在中，，， .求边上的高. ①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 21．（12分）设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表； 记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）. 记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，. （1）设，，请计算，，； （2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表； （3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值. 22．（10分）已知函数（），是的导数. （1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点； （2）已知函数在上单调递减，求的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论. 【题目详解】 由题知， ，则. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.. 2、B 【答案解析】 根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【题目详解】 在复平面内对应的点的坐标为，则， ， ∵， 代入可得， 解得. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3、B 【答案解析】 根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论． 【题目详解】 由题意展开式中的一次项系数为． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 4、B 【答案解析】 由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【题目详解】 根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则，那么. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题. 5、D 【答案解析】 求得直线的斜率，利用曲线的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得的值. 【题目详解】 直线的斜率为， 对于，令，解得，故切点为，代入直线方程得，解得或1. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题. 6、A 【答案解析】 先解A、B集合，再取交集。 【题目详解】 ,所以B集合与A集合的交集为，故选A 【答案点睛】 一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。 7、B 【答案解析】 利用等差数列性质，若，则 求出，再利用等差数列前项和公式得 【题目详解】 解：因为 ，由等差数列性质，若，则得， ． 为数列的前项和，则． 故选：． 【答案点睛】 本题考查等差数列性质与等差数列前项和. (1)如果为等差数列，若，则 ． (2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如. 8、C 【答案解析】 求出，进而可求,即能求出向量夹角. 【题目详解】 解：由题意知，. 则 所以，则向量与的夹角为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算. 9、B 【答案解析】 可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解 【题目详解】 设，则. 由题意有，所以. 故选：B 【答案点睛】 本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 10、A 【答案解析】 用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像. 【题目详解】 设，由于，排除B选项；由于，所以，排除C选项；由于当时，，排除D选项.故A选项正确. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了函数图像的性质，属于中档题. 11、C 【答案解析】 由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间 上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C. 点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值. 12、C 【答案解析】 根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【题目详解】 双曲线的离心率， 则，，解得，所以焦点坐标为， 所以， 则双曲线渐近线方程为，即， 不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由题意欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则，将侧面积表示成关于的函数，再利用一元二次函数的性质求最值. 【题目详解】 欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则， 所以. ∴， 当时，的最大值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查圆柱的侧面积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题. 14、 【答案解析】 某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比. 【题目详解】 设抽取的样本容量为x，由已知，，解得. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题. 15、1 【答案解析】 设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，由抛物线定义得焦点弦长，求得，再写出的垂直平分线方程，得，从而可得结论． 【题目详解】 抛物线的焦点坐标为，直线的方程为， 据得.设， 则. 线段垂直平分线方程为，令，则，所以， 所以. 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键． 16、 【答案解析】 求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【题目详解】 ，则，，. 因此，函数在处的切线方程是， 即. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2） 【答案解析】 （1）要证平面平面，只需证平面，而，所以只需证，而由已知的数据可证得为等边三角形，又由于是的中点，所以，从而可证得结论； （2）由于在中，，而平面平面，所以点在平面的投影恰好为的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【题目详解】 （1）由，所以平面四边形为直角梯形，设，因为. 所以在中，，则，又，所以，由， 所以为等边三角形， 又是的中点，所以，又平面， 则有平面， 而平面，故平面平面. （2）解法一：在中，，取中点，所以， 由（1）可知平面平面，平面平面， 所以平面， 以为坐标原点，方向为轴方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，由得取，则 设直线与平面所成角大小为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：在中，，取中点，所以，由（1）可知平面平面，平面平面， 所以平面， 过作于，连，则由平面平面，所以，又，则平面，又平面所以，在中，，所以，设到平面的距离为，由，即，即， 可得， 设直线与平面所成角大小为，则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 【答案点睛】 此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思