2023届江苏省常州市礼嘉中学高三第二次调研数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是　　 A．关于直线对称 B．关于点对称 C．周期为 D．在上是增函数 4．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ） A．48 B．60 C．72 D．120 5．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．已知定义在上函数的图象关于原点对称，且，若，则（ ） A．0 B．1 C．673 D．674 10．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数满足：当时，，且对任意，都有，则（ ） A．0 B．1 C．-1 D． 12．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） A．20 B．27 C．54 D．64 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，在平面四边形中，，则_________ 14． (x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________. 15．在△ABC中，a＝3，，B＝2A，则cosA＝_____． 16．已知集合，，则________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 18．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败． 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 女 50 合计 （1）求图中的值； （2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？ （3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望． （参考公式：，其中） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 19．（12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）对及，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20．（12分）设，，，. （1）若的最小值为4，求的值； （2）若，证明：或. 21．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为 (t为参数，α为直线的倾斜角)． (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小． 22．（10分）已知函数. （1）若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围； （2）若函数的两个极值点为，，求的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论. 【题目详解】 设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为， 则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或, 故不等式的解集为.故选:. 【答案点睛】 本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题. 2、D 【答案解析】 由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D. 3、D 【答案解析】 当时,,∴f(x)不关于直线对称； 当时, ,∴f(x)关于点对称； f(x)得周期， 当时, ,∴f(x)在上是增函数． 本题选择D选项. 4、A 【答案解析】 对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论 【题目详解】 数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位， 共有个 数字出现在第位时，同理也有个 数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位， 共有个 故满足条件的不同的五位数的个数是个 故选 【答案点睛】 本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。 5、C 【答案解析】 由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解． 【题目详解】 ①当时，，满足题意， ②当时，，，，，故不恒成立， ③当时，设，， 令，得，，得， 下面考查方程的解的个数， 设（a），则（a） 由导数的应用可得： （a）在为减函数，在，为增函数， 则（a）， 即有一解， 又，均为增函数， 所以存在1个使得成立， 综合①②③得：满足条件的的个数是2个， 故选：． 【答案点睛】 本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型. 6、A 【答案解析】 先求出的解析式，再求出的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式，从而可求其最小值. 【题目详解】 的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为， 故. 令，，解得，. 因为为偶函数，故直线为其图象的对称轴， 令，，故，， 因为，故，当时，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量做加减，比如把的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为，另外，如果为正弦型函数图象的对称轴，则有，本题属于中档题． 7、C 【答案解析】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【题目详解】 由三视图可知， 几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形， 侧棱长为，如图： 由底面边长可知，底面三角形的顶角为， 由正弦定理可得，解得， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以， 该几何体外接球的表面积为：. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 8、A 【答案解析】 由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可. 【题目详解】 因为，所以，又，所以， ，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 9、B 【答案解析】 由题知为奇函数，且可得函数的周期为3，分别求出知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得. 【题目详解】 因为为奇函数，故； 因为，故， 可知函数的周期为3； 在中，令，故， 故函数在一个周期内的函数值和为0， 故. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 10、C 【答案解析】 试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以 ，故C为正确答案． 考点：异面直线所成的角． 11、C 【答案解析】 由题意可知，代入函数表达式即可得解. 【题目详解】 由可知函数是周期为4的函数， . 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题. 12、B 【答案解析】 设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。 【题目详解】 设大正方体的边长为，则小正方体的边长为， 设落在小正方形内的米粒数大约为， 则，解得： 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可． 【题目详解】 由题意得 ， ∴． 【答案点睛】 突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷． 14、40 【答案解析】 先求出的展开式的通项，再求出即得解. 【题目详解】 设的展开式的通项为， 令r=3,则， 令r=2,则， 所以展开式中含x3y3的项为. 所以x3y3的系数为40. 故答案为：40 【答案点睛】 本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15、 【答案解析】 由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解． 【题目详解】 解：∵a＝3，，B＝2A， ∴由正弦定理可得：， ∴cosA． 故答案为． 【答案点睛】 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题． 16、 【答案解析】 利用交集定义直接求解． 【题目详解】 解：集合奇数， 偶数， ． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 （1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得的大小. （2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围. 【题目详解】 （1）由题设知，， 即， 所以， 即，又 所以. （2）由题设知，， 即， 又为锐角三角形，所以，即 所以，即， 所以的取值范围是. 【答案点睛】 本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题. 18、 (1) ；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与