2023届山西省陵川第一中学高三第二次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ） A．7 B．14 C．28 D．84 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）． A． B． C． D． 3．已知函数，若，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A．18种 B．36种 C．54种 D．72种 7．已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．已知角的终边经过点,则 A． B． C． D． 10．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ） A． B． C． D． 12．若各项均为正数的等比数列满足，则公比（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中，的系数为_______（用数字作答）. 14．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 15．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______ 16． “”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数据： 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 （1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）①建立月总成本与月产量之间的回归方程；②通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001） 附注：①参考数据：，，，，. ②参考公式：相关系数，，. 18．（12分）在数列中，， （1）求数列的通项公式； （2）若存在，使得成立，求实数的最小值 19．（12分）在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求边上的高. 20．（12分）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点． （1）求,的值： （2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求△的面积． 21．（12分）记为数列的前项和，N. （1）求； （2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和. 22．（10分）在中，，是边上一点，且，. （1）求的长； （2）若的面积为14，求的长. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【题目详解】 ， 解得． ． 故选：D 【答案点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 2、B 【答案解析】 根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值. 【题目详解】 因为终边上有一点，所以， 故选：B 【答案点睛】 此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目. 3、B 【答案解析】 利用函数的单调性得到的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【题目详解】 ∵在R上单调递增，且，∴. ∵的符号无法判断，故与，与的大小不确定， 对A，当时，，故A错误； 对C，当时，，故C错误； 对D，当时，，故D错误； 对B，对，则，故B正确. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 4、B 【答案解析】 根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值． 【题目详解】 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为， ∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 且球半径为， ∴三棱锥外接球表面积为， ∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为． 故选B． 【答案点睛】 （1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用． （2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题． 5、B 【答案解析】 由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果. 【题目详解】 点的坐标满足方程， 在圆上， 在坐标满足方程， 在圆上， 则作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为与， 由图可知， 设两圆内公切线方程为， 则， 圆心在内公切线两侧，， 可得，， 化为，， 即， ， 的取值范围，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 6、B 【答案解析】 把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得. 【题目详解】 把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇， 则不同的分配方案有种. 故选：. 【答案点睛】 本题考查排列组合，属于基础题. 7、A 【答案解析】 将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项. 【题目详解】 由于等差数列中，所以，化简得，所以为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题. 8、A 【答案解析】 联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可. 【题目详解】 联立方程，解方程可得或， 不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0， 因为，， 由平面向量垂直的坐标表示可得，， 因为，所以a2-c2=ac， 两边同时除以可得，， 解得e=或（舍去）， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 9、D 【答案解析】 因为角的终边经过点,所以,则, 即.故选D． 10、D 【答案解析】 弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素. 【题目详解】 因，所以，故，又， ，则， 故集合. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题. 11、D 【答案解析】 设，则，小正六边形的边长为，利用余弦定理可得大正六边形的边长为，再利用面积之比可得结论. 【题目详解】 由题意，设，则，即小正六边形的边长为， 所以，，，在中， 由余弦定理得， 即，解得， 所以，大正六边形的边长为， 所以，小正六边形的面积为， 大正六边形的面积为， 所以，此点取自小正六边形的概率. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 12、C 【答案解析】 由正项等比数列满足，即，又，即，运算即可得解. 【题目详解】 解：因为，所以，又，所以， 又，解得. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、60 【答案解析】 根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数. 【题目详解】 因为， 所以， 则所求项的系数为. 故答案为：60 【答案点睛】 本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题. 14、 【答案解析】 试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是 考点：函数单调性 15、 【答案解析】 先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求. 【题目详解】 解：的渐近线是 因为在渐近线上，所以 ， 故答案为： 【答案点睛】 考查双曲线的离心率的求法，是基础题. 16、充分不必要 【答案解析】 由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系. 【题目详解】 由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要 【答案点睛】 本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2）①②3.386（万元） 【答案解析】 （1）利用代入数值，求出后即可得解； （2）①计算出、后，利用求出后即可得解； ②把代入线性回归方程，计算即可得解. 【题目详解】 （1）由已知条件得， ，∴， 说明与正相关，且相关性很强. （2）①由已知求得，， 所以，所求回归直线方程为. ②当时，（万元）， 此时产品的总成本约为3.386万元. 【答案点睛】 本题考查了相关系数的