2023届山西省太原五中高三第四次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知非零向量满足，，且与的夹角为，则（ ） A．6 B． C． D．3 2．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．5 3．在三棱锥中，，，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（ ） A． B． C． D． 4．若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ） A．36 cm3 B．48 cm3 C．60 cm3 D．72 cm3 5．集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若不垂直于，且，则不垂直于 7．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A． B． C． D． 8．已知是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 9．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( ) A． B． C． D． 10．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A．的值域是 B．是奇函数 C．是周期函数 D．是增函数 12．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设，则“”是“”的__________条件. 14．圆心在曲线上的圆中，存在与直线相切且面积为的圆，则当取最大值时，该圆的标准方程为______. 15．在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______. 16．在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数 （I）当时，解不等式. （II）若不等式恒成立，求实数的取值范围 18．（12分）已知． （1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围； （2）求不等式的解集． 19．（12分）已知函数. （1）解不等式； （2）若，，，求证：. 20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求和的直角坐标方程； （2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线的最大距离． 21．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）. （1）应抽查男生与女生各多少人？ （2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表： 时间（小时） [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] 频率 0.05 0.20 0.30 0.25 0.15 0.05 若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？ 男生 女生 总计 每周平均体育锻炼时间不超过2小时 每周平均体育锻炼时间超过2小时 总计 附：K2. P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 22．（10分）已知函数，． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若，当时，函数，求函数的最小值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可． 【题目详解】 解：非零向量，满足，可知两个向量垂直，，且与的夹角为， 说明以向量，为邻边，为对角线的平行四边形是正方形，所以则． 故选：． 【答案点睛】 本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题． 2、B 【答案解析】 利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【题目详解】 .选B. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式. 3、A 【答案解析】 设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得 ，在 及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【题目详解】 设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r. 因为，所以，解得. 因为，所以. 设，易知平面ABC，则. 因为，所以， 即，解得.所以球Q的半径. 故选：A 【答案点睛】 本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 4、B 【答案解析】 试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积. 考点：三视图和几何体的体积. 5、A 【答案解析】 计算，再计算交集得到答案. 【题目详解】 ，，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了交集运算，属于简单题. 6、C 【答案解析】 因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线也成立，故不正确；答案C中的直线可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能垂直于直线，故不正确．应选答案C． 7、C 【答案解析】 利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值. 【题目详解】 因为，且， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果. 8、B 【答案解析】 根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【题目详解】 . 故选B 【答案点睛】 本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型. 9、A 【答案解析】 由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案. 【题目详解】 根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为， 所以 的周期为， 则， 所以， 由正弦函数和正切函数图象可知正确. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解. 10、C 【答案解析】 试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列， 若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立， 即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件， 故选C． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 11、C 【答案解析】 根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【题目详解】 由表示不超过的最大正整数，其函数图象为 选项A，函数，故错误； 选项B，函数为非奇非偶函数，故错误； 选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确； 选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误. 故选：C 【答案点睛】 本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 12、C 【答案解析】 先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率. 【题目详解】 所有的情况数有：种， 3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有： ，共种， 所以目标事件的概率. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、充分必要 【答案解析】 根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系. 【题目详解】 当时，有，故“”是“”的充分条件. 当时，有，故“”是“”的必要条件. 故“”是“”的充分必要条件， 故答案为：充分必要. 【答案点睛】 本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题. 14、 【答案解析】 由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程． 【题目详解】 设圆的半径为，由题意可得，所以， 由题意设圆心，由题意可得， 由直线与圆相切可得，所以， 而，，所以，即，解得， 所以的最大值为2，当且仅当时取等号，可得， 所以圆心坐标为：，半径为， 所以圆的标准方程为：. 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件. 15、①③④ 【答案解析】 先利用导数求得曲线在点处的切线方程，由此求得与的递推关系式，进而证得数列是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号. 【题目详解】 ∵，∴曲线在点处的切线方程为， 则. ∵，∴， 则是首项为1，公比为的等比数列， 从而，，. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为：①③④ 【答案点睛】 本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前项和公式，属于基础题. 16、1 【答案解析】 当时，得，或，依题意