2023届山西省忻州高级中学高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( ) 发芽所需天数 1 2 3 4 5 6 7 种子数 4 3 3 5 2 2 1 0 A．2 B．3 C．3.5 D．4 3．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ） A． B．6 C． D． 4．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D．1 5．已知锐角满足则（ ） A． B． C． D． 6．设函数的定义域为，命题：，的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 7．若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为( ) A． B． C． D． 8．若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ） A．36 cm3 B．48 cm3 C．60 cm3 D．72 cm3 9．在中，为中点，且，若，则（ ） A． B． C． D． 10．已知复数是正实数，则实数的值为( ) A． B． C． D． 11．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ） A． B． C． D． 12．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数（为自然对数的底数，），若函数恰有个零点，则实数的取值范围为__________________. 14．设，则_____， （的值为______． 15．曲线在处的切线方程是_________． 16．已知中，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为. （1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程； （2）已知直线与曲线交于，满足为的中点，求. 18．（12分）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 19．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点． （1）求抛物线的方程及点的坐标； （2）求的最大值． 20．（12分）如图，四边形中，，，，沿对角线将翻折成，使得. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 21．（12分）已知函数，其导函数为， （1）若，求不等式的解集； （2）证明：对任意的，恒有. 22．（10分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项. （1）证明：为等差数列，并求； （2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 ∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称． ∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）= f（） 且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c， 故选C 2、C 【答案解析】 根据表中数据，即可容易求得中位数. 【题目详解】 由图表可知，种子发芽天数的中位数为， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查中位数的计算，属基础题. 3、D 【答案解析】 根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解. 【题目详解】 如图,该几何体为正方体去掉三棱锥, 所以该几何体的体积为：, 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题. 4、A 【答案解析】 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案. 【题目详解】 解：由于，根据导数的几何意义得： ， 即切线斜率， 当且仅当等号成立， 所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 5、C 【答案解析】 利用代入计算即可. 【题目详解】 由已知，，因为锐角，所以，， 即. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题. 6、D 【答案解析】 根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【题目详解】 因为：，是全称命题， 所以其否定是特称命题，即，. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 7、C 【答案解析】 由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【题目详解】 由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中， 故选C 【答案点睛】 本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型. 8、B 【答案解析】 试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积. 考点：三视图和几何体的体积. 9、B 【答案解析】 选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果. 【题目详解】 ， ， ， ，，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 10、C 【答案解析】 将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案. 【题目详解】 因为为正实数， 所以且，解得. 故选：C 【答案点睛】 本题考查复数的基本定义，属基础题. 11、C 【答案解析】 联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【题目详解】 依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3. 由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4 又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形 点M到直线NF的距离为 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 12、D 【答案解析】 根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率，不放回情况下第二次检测出类产品的概率，即可得解. 【题目详解】 类产品共两件，类产品共三件， 则第一次检测出类产品的概率为； 不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出类产品的概率为； 故第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为； 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 令，则，恰有四个解.由判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出的取值范围. 【题目详解】 解：令，则，恰有四个解. 有两个解，由，可得在上单调递减，在上单调递增， 则，可得. 设的负根为， 由题意知，，， ，则， . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查导数在函数当中的应用，属于难题. 14、720 1 【答案解析】 利用二项展开式的通式可求出；令中的，得两个式子，代入可得结果. 【题目详解】 利用二项式系数公式，，故， ， 故（ =， 故答案为：720；1. 【答案点睛】 本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题. 15、 【答案解析】 利用导数的运算法则求出导函数，再利用导数的几何意义即可求解. 【题目详解】 求导得， 所以，所以切线方程为 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了基本初等函数的导数、导数的运算法则以及导数的几何意义，属于基础题. 16、 【答案解析】 设，利用正弦定理，根据，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，转化为 有解问题求解. 【题目详解】 设， 所以， 即① 由余弦定理得， 即 ②， ①②平方相加得：， 即 ， 令，设 ，在上有解， 所以 ， 解得，即 ， 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1），；（2）. 【答案解析】 （1）由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程，由此可求曲线的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可； （2）将直线的参数方程，代入曲线的普通方程，整理得，利用韦达定理，根据为的中点，解出即可. 【题目详解】 （1）由（为参数）消去参数， 可得，即， 已知曲线的普通方程为， ，， ，即， 曲线的极坐标方程为， 直线经过点，且倾斜角为， 直线的参数方程：（为参数，）. （2）设对应的参数分别为，. 将直线的参数方程代入并整理， 得， ，. 又为的中点， ， ，， ，即， ， ， ，即， . 【答案点睛】 本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题. 18、（1）见解析；（2）见解析 【答案解析】 （1）根据，分别是，的中点，即可证明，从而可证平面； （2）先根据为正三角形，且D是的中点，证出，再根据平面平面，得到平面，从而得到，结合，即可得证． 【题目详解】 （1）∵，分别是，的中点 ∴ ∵平面，平面 ∴平面. （2）∵为正三角形，且D是的中点 ∴ ∵平面平面，且平面平面，平面 ∴平面 ∵平面 ∴ ∵且 ∴ ∵，平面，且 ∴平面. 【答案点睛】 本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题． 19、（1），；