2023年高一数学必修一知识点总结.doc

高一数学(必修一)知识点总结 高一数学必修1各章知识点总结 〔拂晓搜集整理〕 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素确实定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 u 注意：常用数集及其记法： 非负整数集〔即自然数集〕记作：N 正整数集 Nx或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1〕列举法：{a,b,c……} 2〕描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3〕语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4〕Venn图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的根本关系 1.“包含〞关系—子集 注意：有两种可能〔1〕A是B的一局部，；〔2〕A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2．“相等〞关系：A=B (5≥5，且5≤5，那么5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同那么两集合相等〞 即：① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA ②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC ④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB〔读作‘A交B’〕，即AB=｛x|xA，且xB｝． 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB〔读作‘A并B’〕，即AB ={x|xA，或xB})． 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集〔或余集〕 S A 记作，即 CSA= 韦 恩 图 示 S A 性 质 AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB AA=A AΦ=A AB=BA ABＡ ABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= Φ． 例题： 1.以下四组对象，能构成集合的是 〔 〕 A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a，b，c }的真子集共有 个 3.假设集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，那么M与N的关系是 . 4.设集合A=，B=，假设AB，那么的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，那么这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影局部的点〔含边界上的点〕组成的集合M= . 7.集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 假设B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值 二、函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. u 相同函数的判断方法：①表达式相同〔与表示自变量和函数值的字母无关〕；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4．区间的概念 〔1〕区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 〔2〕无穷区间 〔3〕区间的数轴表示． 5．映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f〔对应关系〕：A〔原象〕B〔象〕〞 对于映射f：A→B来说，那么应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数。 (2)各局部的自变量的取值情况． (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),那么 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) 〔1〕增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x11，且∈x． u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。 当是奇数时，，当是偶数时， 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ， u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 〔1〕· ； 〔2〕 ； 〔3〕 ． 〔二〕指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 01 00，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是　　　　　　 (　 ) 　　　　　 2.计算：① ;②= ；= ; ③ = 3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为 4.假设函数在区间上的最大值是最小值的3倍，那么a= 5.，〔1〕求的定义域〔2〕求使的的取值范围 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3、函数零点的求法： 〔代数法〕求方程的实数根； 〔几何法〕对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数． 〔1〕△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点． 〔2〕△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 〔3〕△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点． 5.函数的模型 收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 用函数模型解释实际问题 符合实际 不符合实际 检验