2023年求数列的通项公式常用方法副本.doc

求数列的通项公式之常用方法 湖北省建始县民族高级中学 胡贻富 一、观察法 例1、写出以下数列的一个通项公式，使它的前几项分别是以下各数： 〔1〕 ， 〔2〕 ， 〔3〕 或， 〔4〕 ， 〔5〕 ， 〔6〕 或 二、公式法 (1)、数列为等差数列，公差为，那么数列的通项公式〔，〕； (2)、数列为等比数列，公比为，那么数列的通项公式〔，〕； (3)、数列的前项和为，那么 例2 数列的前项和为，根据以下条件分别求它们的通项. 〔1〕；〔2〕. 解：〔1〕当时，； 当时，，显然满足.故数列的通项公式，. 〔2〕当时，； 当时，.显然不满足.故数列的通项公式 例3、正项数列满足，求数列的通项公式. 方法一〔消留〕 当时，，∴. 当时，，整理得，， ∵数列是正项数列，∴，∴〔〕，故数列是以首项，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式 ，. 方法二〔消留〕 根据题意可知，，. 当时，，∴=，整理得，，∵，，∴，那么，即〔〕.故数列是以为首项， 1为公差的等差数列，∴，. 故，. 三、累加法 例4 数列的首项为3，为等差数列且，.假设，，求数列的通项公式. 解：设等差数列的公差为.∵，， ∴且，解得，. 故等差数列的通项公式为，. ∴，.因此， ， ， ， …… ， 将上面的式子相加得，， 即， ∴，. 【题后悟道】对形如〔〕或，的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出的关系式. 四、累乘法 例5 数列中，，前项和为. 〔1〕求，的值；〔2〕求数列的通项公式. 解：〔1〕，解得； 〔2〕方法一〔累乘法〕 ，解得. 当时，. 当时，，整理得，即〔〕.因此，，，，，…，，，将上面的式子相乘得，，即，即〔〕，显然满足.故数列的通项公式，. 【题后悟道】对形如〔〕或，的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出的关系式. 方法二〔迭代法〕 ,. 五、构造新数列法 例6、〔P93典例3〕数列中，，，求数列的通项公式. 解：设，因为 ，∴， ∴.设，那么， ∴数列是以为首项，公比为3的等比数列，∴，那么，那么，. 【题后悟道】对形如“〞的递推公式求通项公式，可将递推公式变形为，设，那么.从而构造等比数列，求出，进一步求出.这种求数列通项公式的方法叫做构造等比数列法。 例7 数列中，，，，且. 〔1〕求，的值； 〔2〕设〔〕，证明：是等差数列. 〔3〕求数列的通项公式. 解：〔1〕；. (2)由，，且可得，〔〕，那么〔〕 又，故数列是首项为0，公差为1的等差数列. 〔3〕由〔2〕知，〔〕. ∴， ∴〔〕. 六、待定系数法 例8 数列为等差数列，，. 〔1〕求数列的通项公式. 〔2〕记数列的前项和为，假设，，成等比数列，求正整数的值。 解：〔1〕设等差数列的公差为，∵，，∴解得 ∴， 〔2由〔1〕可得.∵，，成等比数列，∴.从而. ∵为正整数，∴. 例9 设等比数列的前项和为，，，求和. 解：设等比数列的公比为，∵，， ∴解得或 ∴当时，，，； 当时，，， 【题后悟道】假设数列是等差或等比数列，只需构造方程〔组〕求出首项、公差、公比，便可写出通项公式. 例10〔倒数变换〕数列中，，，求数列的通项公式. 解：根据题意得〔〕. ∵， ∴，那么.故数列是以为首项，2为公差的等差数列，∴， ∴〔〕 例11、数列中，，〔，〕，求数列的通项公式. 解：∵〔，〕， ∴，那么，令，那么〔〕. 故数列是以为首项，1为公差的等差数列， ∴，∵， ∴，∴〔〕. 例12、数列中，，，〔〕，求数列的通项公式. 方法一：∵〔〕， ∴〔〕， 令〔〕，∴〔〕，又，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，∴〔〕， ∴〔〕， 即〔〕，变形为，即，变形为〔〕 令〔〕，那么〔〕.故数列是以为首项，-3为公比的等比数列， ∴〔〕，那么〔〕，那么〔〕.即数列的通项公式为〔〕. 方法二：∵〔〕， ∴〔〕.令，那么〔〕.故数列是以为首项，3为公比的等比数列，∴〔〕，那么 〔〕，变形为〔〕，那么〔〕，即〔〕.令，那么〔〕，〔〕，故数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，那么，那么，即〔〕，.即数列的通项公式为〔〕. 方法三：∵〔〕， ∴〔〕， 令〔〕，∴〔〕，又，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，∴〔〕， ∴〔〕，① ∵〔〕， ∴〔〕.令，那么〔〕.故数列是以为首项，3为公比的等比数列，∴〔〕，那么 〔〕，② 由②-①得，，〔〕，整理得〔〕. 例13〔对数变换〕数列中，，〔〕，求数列的通项公式. 解：∵，〔〕，∴，那么〔〕.故数列是以为首项，2为公比的等比数列，∴〔〕. ∴〔〕. 14〔常数变换〕数列中，，，求数列的通项公式. 解：∵〔〕， ∴〔〕， 即〔〕，令，那么〔〕，那么〔〕.故数列是以为首项，2为公比的等比数列，∴，〔〕. ∴，∴〔〕. 例15、数列的前项和为〔〕. （1） 求数列的通项公式； （2） 假设，，求. 解：〔1〕∵〔〕，① ∴〔〕，② 由②-①得，〔〕 整理得，〔〕，两边同除以得，，〔〕.令，那么〔〕. ∵，∴，那么， ∴故数列是以为首项，1为公差的等比数列， ∴〔〕. 那么，即〔〕. 〔2〕及可得，〔〕.那么① ② 由①-②得，，即， ∴〔〕 7