2023年g31061空间直线与平面doc高中数学.docx

g3.1061空间直线与平面 一.知识回忆: 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，． 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：． 3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 推理模式：． 4 定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面交点叫做垂足 直线l与平面α垂直记作：l⊥α 5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 6．直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 7．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离． 8．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离． 9 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 10．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ． 注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用 二根本训练： 1．直线、和平面，那么的一个必要不充分的条件是 （ ） ， ， 且 、与成等角 2．、表示平面，、表示直线，那么的一个充分条件是 （ ） ，且 ，且 ，且 ，且 3．在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时， 有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 4.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题： ①假设，，那么是的垂心 ②假设两两互相垂直，那么是的垂心 ③假设，是的中点，那么 ④假设，那么是的外心 其中正确命题的命题是 ①②③④ 三．例题分析： 例1．如图，M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点． B A D C P N Q M 求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP． 证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC． ∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA． ∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形． ∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分． (2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACËα． 否那么，假设ACÌα， 由A∈α，M∈α，得B∈α； 由A∈α，Q∈α，得D∈α，那么A、B、C、D∈α， 与四边形ABCD是空间四边形矛盾． 又∵MNÌα，∴AC∥α， 又AC Ëα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP． 同理可证BD∥平面MNP． 例2．四面体中，分别为的中点，且， ，求证：平面 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴ ，又∴，∴在中， ∴，∴，又，即， ∴平面 例3. 如图，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面 证明：连结，∵∴，在直三棱柱中 ，∴平面，∵， ∴，∴，∵是侧面的两条对角 线的交点，∴是与的中点，∴，连结 ，取的中点，连结，那么， ∵平面，∴平面，∴是在 平面内的射影。在中， 在中，，∴ ∴，∴，∴平面 例4．如图，矩形所在的平面，分别是的中点， （1）求证：平面； （2）求证： （3）假设，求证：平面 四、作业同步练习g3.1061 空间直线与平面 1、直线、和平面，那么的一个必要不充分的条件是 （ ） ， ， 且 、与成等角 2、、表示平面，、表示直线，那么的一个充分条件是 （ ） ，且 ，且 ，且 ，且 3、平面直线n过点P，那么的（ ） A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件 4、直线平面内直线b与c相距6cm且a||b,a与b相距5cm，那么a、c相距（ ） A、5cm B、或5cm C、 D 、或5cm 5、在中，,AB=8,,PC面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，那么PM的最小值为（ ） A、 B、 C、 D、 6、在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，那么四边形的形状为 ． 7、空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，假设BD＝6cm,梯形EFGH的面积为28cm2。那么平行线EH、FG间的距离为 8、如图，的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E 是BC的中点，那么AE与CD所成角的大小为 。 9、 图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，那么线段EF的长是 。 A B C D B1 1 D1 C1 1 α 1 A1 B2 A2 C2 D2 2 2 2 2 β 10、如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形． 11、ABCD是四边形，点P 是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP||GH。 参考答案 DDCBA 6、（平行四边形） 7、8 cm 8、 9、 10．证明：∵ A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2 在一条直线上， ∴A，B，C，D四点共面． 又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1． ∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线． ∴AB∥CD． 同理AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 11、证明：设ACBD=O,连OM，因为M是PC的中点，所以OM平行AP， 所以AP平行平面BDM，因为AP面APG 且面APG面BDM=GH 所以AP||GH。