Mathematica在高等数学课程教学中的应用分析_李守金.pdf

引言高等数学是高等院校许多专业开设的重要基础课程，是对学生的数学思想、数学文化、数学方法、数学素养以及数学能力进行综合培养和提高的关键课程，是学生学习后继数学课程和专业课程以及现代科学技术知识的基础。高等数学教学改革经过多年的探索和实践，取得了许多成效，但是在有的高等院校，高等数学作为一门重要的基础理论课程，基本上是沿用和继承固有体系，人才培养目标难以实现 1。刘熙娟利用 M a t h e m a t i c a 符号演算、数值计算、图形处理三种功能解决高等数学教学中遇到的实际问题，以改善高等数学课堂教学 2。刘雄伟阐述了将 M a t h e m a t i c a 融入高等数学教学，丰富高等数学的教学手段 3。王绍恒提出将 M a t h e m a t i c a 软件与大学数学整合可以改善课程教学硬件，提高课堂教学效率 4。一、Mathematica 软件简介1 9 8 8年，由美国物理学家、数学家 S t e p h e nWo l f r a m 领 导 的 团 队 开 发 了 一 款 数 学 软 件M a t h e m a t i c a。M a t h e m a t i c a软件和 Wo l f r a m语言集成了科学计算领域先进的技术，M a t h e m a t i c a 很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接 5，充分展示了科学计算的强大能力，在全球范围内推动着科技创新。M a t h e m a t i c a 软件从 1 9 8 8 年发布的 M a t h e m a t i c a 1.0到 2 0 2 1年的 M a t h e m a t i c a 1 2.3，系统功能不断完善和增强，其应用更加快速、流畅和便捷。M a t h e m a t i c a 软件是数学和物理学领域的主要科研工具，在计算机科学、生命科学、信息科学、工程计算和金融等诸多领域，M a t h e m a t i c a软件也得到了广泛应用 6 1。M a t h e m a t i c a 作为高等数Mathematica 在高等数学课程教学中的应用分析*李守金（潍坊科技学院通识学院，山东潍坊2 6 2 7 0 0）摘要 文章基于数学软件 Mathematica 的符号演算、数值计算、图像绘制等功能，分析高等数学教学中遇到的重点、难点问题，改革教学方法，更新教学手段，以激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神和数学素养，提高学生应用数学的能力。关键词 Mathematica；高等数学；应用分析 中图分类号 G642.0 文献标识码 A 文章编号 1008-7656（2022）06-0064-07*基金项目 潍坊科技学院 2021 年教学改革重点项目“基于 Mathematica 的 高等数学 课程教学改革的实践”（编号：202107）收稿日期 2022-09-22第 33 卷第 6 期广西广播电视大学学报Vol.33 No.62022 年 11 月JOURNAL OF GUANGXI OPEN UNIVERSITYNov.202264第 33 卷第 6 期广西广播电视大学学报Vol.33 No.62022 年 11 月JOURNAL OF GUANGXI OPEN UNIVERSITYNov.202212表 1Mathematica 数值计算的命令格式表格式意义举例N 表达式 以近似实数型输出表达式的值N 表达式，n以n位精确度输出表达式的值例如求，在 M a t h e m a t i c a 的笔记本文档界面输入，执行命令后得到的是精确值，再用 N命令求得其近似值。也可以直接输入，直接执行此命令也可以得到其近似值。该积分称为超越积分，其原函数无法用初等函数给出，已经超出了高等数学的教学大纲，用此例目的在于说明 M a t h e m a t i c a 强大的数值计算功能，它可以进行复杂的计算，加速科技创新的进程。三、Mathematica 符号计算功能微积分是学习高等数学的重点和难点内容，其中蕴含着各种变换和运算技巧。在微积分的学习过程中，学生只要掌握微积分的本质及其数学思想方法，对于微积分的许多问题都可以借助于M a t h e m a t i c a 的符号计算功能来实现。（一）求函数的极限利用 M a t h e m a t i c a 可以求解一元或多元函数极限，求一元函数极限的 M a t h e m a t i c a 计算命令格式：L i m i t f x ，x x 0（或 x ），求多元函数极限的M a t h e m a t i c a 命令格式：L i m i t f x 1，x n ，x 1 x 1*，x n x n*。例 1 求一元函数极限 8 6 6。此例极限求解较为复杂，计算量较大，利用M a t h e m a t i c a 软件可以辅助计算。在 M a t h e m a t i c a 笔记本文档输入极限计算命令：，同时按下S h i f t+E n t e r 运行便得出结果为。也可以使用专业数学计算网站 h t t p:/w w w.w o l-f r a m a l p h a.c o m/，在输入框内输入上述极限计算命令学实验教学重要软件之一，被广泛应用于高等数学实验教学中，用户创建并编辑笔记本文档，可以进行数值计算、符号或代数运算、图像处理、表格制作和编程等。高等数学大部分计算和作图都可以使用 M a t h e m a t i c a 辅助完成，也可以直接使用w o l f a r m公司的专业数学计算网站7 4 1。例如求，可以直接输入表达式，然后按 E n t e r 键或点击“=”便会得到结果。如果不会输入命令，可以单击命令输入框下方的 E x a m p l e s 查看示例输入，或者直接输入S i n（x）2，网站自动提供求导结果及过程，还会得到与之相关的数学运算及其运算过程。二、Mathematica 数值计算功能在近二十年的算法开发中，Wo l f r a m语言建立一个数值计算的新层次。特别是它的许多高效原算法，自动算法选择的方法论，系统范围支持自动误差追踪和任意精度算法。M a t h e m a t i c a 中的数值分为整数、有理数、实数和复数四种类型。利用 M a t h e m a t i c a 符号计算功能可以求出数学表达式的精确解，如果需要其近似解，可以使用数值计算 N命令计算任意指定精度的近似值，相反也可以对求得的近似值进行有理近似。N命令格式如表1 所示 7 6 7。65用 D f x，y ，x 求导时，若 y 是 x 的函数，要使用选择项 N o n C o n s t a n t s y 说明 y 是非常量，若不注明，M a t h e m a t i c a 默认 y 为常量；用 D t f x，y ，x 求导时，若 y 是常量，要使用选择项 C o n s t a n t s y 说明 y 是常量，若不注明，M a t h e m a t i c a 默认 y为非常量。例 2 求函数的全微分 8 7 5。在 M a t h e m a t i c a 笔记本输入命令：D t x+S i n y/2+E x p y z ，执行命令得到计算结果：D t x +1/2 C o s y/2 D t y +e y z D t y z ，即。（三）求函数的积分利用 M a t h e m a t i c a 可以计算函数的不定积分、定积分、重积分；计算无穷区间上的广义积和无界函数的广义积分；计算曲线积分和曲面积分；进行积分变换；还可以求符号函数或抽象函数的不定积分。部分计算命令格式如下页表 3 所示。表 2Mathematica 中求函数的导数或微分的计算表后，按 E n t e r 健或单击输入框右边的“=”按钮，即可显示出计算结果。点击网页上的“S t e p-b y-s t e p s o l u t i o n”按钮，会显示详细的解题步骤，核查计算步骤存在的问题，便于学习者自学。（二）求函数的导数或微分利用 M a t h e m a t i c a 可以求一元显函数的n阶导数或微分、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数、多元显函数的n阶偏导数或偏微分、多元函数的全微分、符号函数的导数以及方向导数与梯度等。M a t h e m a t i c a 求函数导数或微分的计算命令格式，如表 2 所示 7 1 0 6-1 0 8。李守金/著Mathematica 在高等数学课程教学中的应用分析66第 33 卷第 6 期广西广播电视大学学报Vol.33 No.62022 年 11 月JOURNAL OF GUANGXI OPEN UNIVERSITYNov.2022表 3Mathematica 中与积分相关的部分计算命令格式表4 58例 3 计算二重积分，其中D是由抛物线 y2=x 及直线 y=x-2 围成的闭区域 8 1 4 5。利用 M a t h e m a t i c a 作出围成的闭区域，如图 1所示。图 1抛物线 y2=x 及直线 y=x-2 围成的闭区域图上图围成的闭区域可以看作 Y型区域：，即。在 M a t h e m a t i c a 笔记本输入命令：I n t e g r a t e x y，y，-1，2 ，x，y 2，y+2 ，或者直接输入：，执行命令可以直接得到二重积分的结果为。注意命令中 x 与 y 的关系是乘积关系，x 与 y 之间要么加空格，要么用“*”表示 x 与 y 的乘积。该二重积分计算量较大，运用 M a t h e m a t i c a 软件进行计算可以做到省时省力。（四）求解微分方程利用 M a t h e m a t i c a 可以求解常微分方程、偏微分方程、微分方程组、微分方程数值求解和微分方程组数值求解等，主要用到 D S o l v e（求解微分方程）、N D S o l v e（数值求解微分方程组）、D S o l v e-V a l u e（微分方程解）三个命令，部分命令格式如下页表 4 所示 7 1 7 9-1 8 2。67表 4Mathematica 中 DSolve 与 NDSolve 的部分计算命令格式表例 4 微分方程y -2y+5y=0 的通解 8 3 4 1。利用 M a t h e m a t i c a 的 D S o l v e 命令输入：D S o l v e y x -2 y x +5 y x =0，y x ，x ，执行命令输出运算结果：y x e x C 2 C o s 2x +e x C 1 S i n 2x ，即：y=ex（C2c o s 2 x+C1s i n 2 x）。（五）函数展成幂级数利用 M a t h e m a t i c a 可以进行级数的相关计算。利用 S u m可以求级数的和，利用 P r o d u c t 可以求级数的积，利用 S e r i e s 可以将函数展成幂级数，利用F o u r i e r T r i g S e r i e s 可以将周期函数展成傅立叶级数，利用 D可以对幂级数进行逐项求导运算，利用 I n-t e r g r a t e 可以对幂级数进行逐项积分运算等。用 S e r i e s 将函数f（x）在点x0展成幂级数命令格式：S e r i e s f，x，x 0，n 。例 5 将函数f（x）=ex展开成x的幂级数。在 M a t h e m a t i c a 笔记本输入命令：S e r i e s E x p x ，x，0，7 ，执行命令后得到f（x）=ex在x=0 点直到 7次的幂级数展开式：。利用 M a t h e m a t i c a 还可以进行函数极值的搜索、向量的相关计算等。四、Mathematica 图像处理功能数学图像最早采用的是列表、描点、连线的方式作图，这样的手工作图仅能制作比