2023年高考数学一轮复习学案（人教版a版）函数基本性质高中数学.docx

2023年高考数学一轮复习精品学案〔人教版A版〕---函数根本性质 一．【课标要求】 1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大〔小〕值及其几何意义； 2．结合具体函数，了解奇偶性的含义； 二．【命题走向】 从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不管是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索 预测2023年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值 预测明年的对本讲的考察是： 〔1〕考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题； 〔2〕以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点 三．【要点精讲】 1．奇偶性 〔1〕定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，那么称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，那么称f(x)为偶函数。 如果函数f(x)不具有上述性质，那么f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，那么f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，那么－x也一定是定义域内的一个自变量〔即定义域关于原点对称〕。 〔2〕利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(－x)与f(x)的关系； 作出相应结论： 假设f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，那么f(x)是偶函数； 假设f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，那么f(x)是奇函数 〔3〕简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称； ②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 2．单调性 〔1〕定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)〔f(x1)>f(x2)〕，那么就说f(x)在区间D上是增函数〔减函数〕； 注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 〔2〕如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有〔严格的〕单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 〔3〕设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集： ①假设u=g(x) 在 A上是增〔或减〕函数，y= f(u)在B上也是增〔或减〕函数，那么函数y= f[g(x)]在A上是增函数； ②假设u=g(x)在A上是增〔或减〕函数，而y= f(u)在B上是减〔或增〕函数，那么函数y= f[g(x)]在A上是减函数。 〔4〕判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形〔通常是因式分解和配方〕； 定号〔即判断差f(x1)－f(x2)的正负〕； 下结论〔即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性〕。 〔5〕简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数增函数是增函数； 减函数减函数是减函数； 增函数减函数是增函数； 减函数增函数是减函数。 3．最值 〔1〕定义： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。 注意： 函数最大〔小〕首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 函数最大〔小〕应该是所有函数值中最大〔小〕的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M〔f(x)≥M〕。 〔2〕利用函数单调性的判断函数的最大〔小〕值的方法： 利用二次函数的性质〔配方法〕求函数的最大〔小〕值； 利用图象求函数的最大〔小〕值； 利用函数单调性的判断函数的最大〔小〕值： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减那么函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增那么函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 4．周期性 〔1〕定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，那么称f(x)为周期函数； 〔2〕性质：①f(x+T)= f(x)常常写作假设f(x)的周期中，存在一个最小的正数，那么称它为f(x)的最小正周期；②假设周期函数f(x)的周期为T，那么f(ωx)〔ω≠0〕是周期函数，且周期为 四．【典例解析】 题型一：判断函数的奇偶性 例1．讨论下述函数的奇偶性： 解：〔1〕函数定义域为R， ， ∴f(x)为偶函数； 〔另解〕先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。 〔2〕须要分两段讨论： ①设 ②设 ③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)； 由①、②、③知，对x∈R有f(－x) =－f(x)， ∴f(x)为奇函数； 〔3〕，∴函数的定义域为， ∴f(x)=log21=0(x=±1) ，即f(x)的图象由两个点 A〔－1，0〕与B〔1，0〕组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数； 〔4〕∵x2≤a2, ∴要分a >0与a <0两类讨论， ①当a >0时， ，∴当a >0时，f(x)为奇函数； 既不是奇函数，也不是偶函数. 点评：判断函数的奇偶性是比拟根本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，假设函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程〔要保证定义域不变〕 例2．(202323年江苏省南京师范大学附属中学)函数，给出以下三个条件: (1) 存在，使得； (2) 成立； (3) 在区间上是增函数. 假设同时满足条件 和 〔填入两个条件的编号〕，那么的一个可能的解析式为 . 答案 满足条件(1)(2)时,等；满足条件(1)(3)时,等；满足条件(2)(3)时,等 题型二：奇偶性的应用 例3．山东省潍坊市2023年高三教学质量检测 函数为奇函数，，且不等式的解集是 ∪ 〔1〕求a,b,c。 〔2〕是否存在实数m使不等式对一切成立？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由。 解：〔1〕∵ ∴ ……1分 ∵ 的解集中包含2和－2, ∴ 即得所以 ……2分 ∵ ∴ ……3分 下证：当a>0时，在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)内任取x1，x2，且x1<x2，那么 即 …5分 所以， 综上所述： ……6分 〔2〕∵ ∴在(－∞,0)上也是增函数。 …7分 又 ∴ 而 所以，m为任意实数时，不等式 ……12分 点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式 题型三：判断证明函数的单调性 例5．〔2023上海文，19〕 〔此题总分值16分〕此题共有2个小题，第1小题总分值8分，第2小题总分值8分． 函数． 〔1〕假设，求的值； 〔2〕假设对于恒成立，求实数m的取值范围． 【解】〔1〕. …………….2分 由条件可知，解得 …………6分 ∵ …………..8分 〔2〕当 ……………10分 即 ………………13分 故m的取值范围是 …………….16分 点评：此题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁 例6．f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。 解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决 在R上任取x1、x2，设x1<x2，∴f(x2)= f(x1)， ∵f(x)是R上的增函数，且f(10)=1， ∴当x<10时0< f(x)<1, 而当x>10时f(x)>1; ① 假设x1<x2<5，那么0<f(x1)<f(x2)<1, ② ∴0< f(x1)f(x2)<1, ∴<0, ∴F (x2)< F(x1)； ②假设x2 >x1>5，那么f(x2)>f(x1)>1 , ∴f(x1)f(x2)>1, ∴>0, ∴ F(x2)> F (x1)； 综上，F (x)在〔－∞，5〕为减函数，在〔5，+∞〕为增函数 点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比拟特殊的问题，其根本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点 题型四：函数的单调区间 例7．(2023山东卷文)定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,那么 ( ). A. B. C. D. 答案 D 解析 因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 那么,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,应选D. 【命题立意】:此题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 例8．〔1〕求函数的单调区间； 〔2〕假设试确定的单调区间和单调性。 解：〔1〕函数的定义域为， 分解根本函数为、 显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规那么： 所以函数在上分别单调递增、单调递减。 〔2〕解法一：函数的定义域为R， 分解根本函数为和。 显然在上是单调递减的，上单调递增； 而在上分别是单调递增和单调递减的。且， 根据复合函数的单调性的规那么： 所以函数的单调增区间为；单调减区间为。 解法二：， ， 令 ，得或， 令 ，或 ∴单调增区间为；单调减区间为。 点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减〞的规那么。 题型五：单调性的应用 例9．偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，