2023年高中数学辨析与不等式相关的概念学法指导.docx

辨析与不等式相关的概念 一、“同向相加〞与“同向相乘〞 两个不等式“相加〞或“相乘〞，要注意施行的前提条件，两个不等式“相加〞，只要同向就可以，如，，那么。而两个不等式“相乘〞，不仅要求同向，而且两端还必须同号，如，，那么，假设，，那么。切记：同向不等式可以相加，不能相减；同向正值〔负值〕不等式可以相乘，不能相除。 二、辨析不等式中的“分类讨论〞与“分段讨论〞 解不等式时的讨论可分为两种类型：分类讨论和分段讨论。当讨论的对象与求解的对象不一致时，称为分类讨论，它主要针对不等式中的参数讨论：当讨论的对象与求解的对象一致时，称为分段讨论，它主要针对不等式中的未知数讨论。因此对这两种类型的讨论结果的处理也不一样，分类讨论的结果应分情况进行分别表达，而分段讨论那么要求各分段内部先求交集〔即讨论对象的范围与求解出的范围求交集〕，然后再对所有各段的结果求并集，即为所求解的结果。 例如，在解不等式时，对x分三段讨论，每段的结果是：〔1〕当时，；〔2〕当时，；〔3〕当时，恒成立。最后的结果应为其并集，即为。 又如在解关于x的不等式时，对参数分两类讨论，分类的结果是：〔1〕时，；〔2〕时，。 三、辨析均值定理“证明不等式〞与“求函数最值〞 利用均值定理证明不等式时，只需满足一个条件，即。但利用均值定理求函数的最值时，要满足通常所说的“一正、二定、三相等〞。 例如，当时，〔1〕证明；〔2〕求函数的最小值。〔1〕可以直接利用均值定理证明；而〔2〕求最小值时，中的等号不成立，因此2不是最小值，事实上，因为，所以。当且仅当，且，取等号，因此的最小值为。 四、辨析“有解〞与“对一切恒成立〞 借助数轴可知函数的值域为，“不等式有解〞等价于“的最小值〞，因此，只要求出的最小值即可，即。而“对一切恒成立〞等价于“的最大值〞，只要求出的最大值即可，即。 例如，不等式有解时，实数的范围是；而不等式对一切恒成立时，实数的取值范围是。 五、辨析“差值比拟法〞与“商值比拟法〞 差值比拟法与商值比拟法是比拟法的两种根本形式，也是比拟实数大小的一种最根本方法。要正确使用这两种方法，就必须清楚这两种方法的应用原理。 差值比拟法的理论依据是不等式的根本性质“；〞 ；商值比拟法的理论依据是“假设且；假设，且〞。两者不同的是：差值比拟法可以针对任意的两个数〔或式子〕；商值比拟法针对两个正实数〔或式子〕。 以上只是在同学们平时的学习过程中最常见的几种证明方法，随着同学们进一步的学习和总结，会发现更实用、更新颖的证明方法，但要具体问题具体分析，灵活运用所学的证明方法。 年级 高中 学科 数学 版本 期数 内容标题 辨析与不等式相关的概念 分类索引号 分类索引描述 　　统考试题与题解 主题词 辨析与不等式相关的概念 栏目名称 专题辅导 供稿老师 审稿老师 录入 赵真真 一校 吴启瑞 二校 审核