2023届黑龙江省鸡西市高三第二次调研数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，，则.其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 2．已知实数，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 3．已知命题，，则是（ ） A．， B．，. C．， D．，. 4．定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 5．函数（），当时，的值域为，则的范围为（ ） A． B． C． D． 6．若为纯虚数，则z＝（ ） A． B．6i C． D．20 7．设集合则（ ） A． B． C． D． 8．以，为直径的圆的方程是 A． B． C． D． 9．的展开式中含的项的系数为（ ） A． B．60 C．70 D．80 10．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（ ） A．9 B．7 C． D． 11．已知直线：与圆：交于，两点，与平行的直线与圆交于，两点，且与的面积相等，给出下列直线：①，②，③，④.其中满足条件的所有直线的编号有（ ） A．①② B．①④ C．②③ D．①②④ 12．若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____. 14．设，满足约束条件，则的最大值为______. 15．在平面直角坐标系中，已知，若圆上有且仅有四个不同的点C，使得△ABC的面积为5，则实数a的取值范围是____. 16．在的展开式中，的系数等于__． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）. （1）请用角表示清洁棒的长； （2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 18．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据： 月 份 5 6 7 8 9 10 11 12 研发费用（百万元） 2 3 6 10 21 13 15 18 产品销量（万台） 1 1 2 2.5 6 3.5 3.5 4.5 （Ⅰ）根据数据可知与之间存在线性相关关系，求出与的线性回归方程（系数精确到0.01）； （Ⅱ）该公司制定了如下奖励制度：以（单位：万台）表示日销售，当时，不设奖；当时，每位员工每日奖励200元；当时，每位员工每日奖励300元；当时，每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售（万台）服从正态分布（其中是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按30天计算）获得奖励金额总数大约多少元. 参考数据：，，，， 参考公式：相关系数，其回归直线中的，若随机变量服从正态分布，则，. 19．（12分）设函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值； （Ⅲ）已知数列中，，且，若数列的前n项和为，求证： . 20．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点. （1）证明：平面； （2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值. 21．（12分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，、分别为、中点． （1）求证：； （2）求二面角的大小． 22．（10分）已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【题目详解】 解：①：、也可能相交或异面，故①错 ②：因为，，所以或， 因为，所以，故②对 ③：或，故③错 ④：如图 因为，，在内过点作直线的垂线， 则直线， 又因为，设经过和相交的平面与交于直线，则 又，所以 因为，， 所以，所以，故④对. 故选：C 【答案点睛】 考查线面平行或垂直的判断，基础题. 2、B 【答案解析】 根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出． 【题目详解】 解：∵， ∴，，． ∴． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3、B 【答案解析】 根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【题目详解】 根据全称命题的否定为特称命题，可得， 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 4、B 【答案解析】 先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数的导数为，由，得出，只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可. 【题目详解】 若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意； 若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数求导得，由得， 由图象可知，满足不等式的的取值范围是， 因此，函数的单调递减区间为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题. 5、B 【答案解析】 首先由，可得的范围，结合函数的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围. 【题目详解】 因为，所以，若值域为， 所以只需，∴. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 6、C 【答案解析】 根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【题目详解】 ∵为纯虚数， ∴且 得，此时 故选：C. 【答案点睛】 本题考查复数的概念与运算，属基础题. 7、C 【答案解析】 直接求交集得到答案. 【题目详解】 集合，则. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了交集运算，属于简单题. 8、A 【答案解析】 设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出，从而求出圆的方程. 【题目详解】 设圆的标准方程为， 由题意得圆心为，的中点， 根据中点坐标公式可得，， 又，所以圆的标准方程为： ，化简整理得， 所以本题答案为A. 【答案点睛】 本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题. 9、B 【答案解析】 展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解 【题目详解】 由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到， 所以的展开式中含的项的系数为． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题. 10、C 【答案解析】 根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得. 【题目详解】 设，，则. 因为平面，平面，所以. 又，，所以平面，则. 易知，. 在中，， 即，化简得. 在中，，. 所以. 因为， 当且仅当，时等号成立，所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题. 11、D 【答案解析】 求出圆心到直线的距离为：，得出，根据条件得出到直线的距离或时满足条件，即可得出答案. 【题目详解】 解：由已知可得：圆：的圆心为（0,0），半径为2， 则圆心到直线的距离为：， ∴， 而，与的面积相等， ∴或， 即到直线的距离或时满足条件， 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式. 12、B 【答案解析】 利用向量的数量积运算即可算出． 【题目详解】 解： ，， 又在上 ， 故选： 【答案点睛】 本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解. 【题目详解】 由题：函数在区间内有且仅有两个零点， ， 等价于函数恰有两个公共点， 作出大致图象： 要有两个交点，即， 所以. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解. 14、29 【答案解析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案. 【题目详解】 由约束条件作出可行域如图： 联立，解得， 目标函数是以原点为圆心，以为半径的圆， 由图可知，此圆经过点A时，半径最大，此时也最大， 最大值为. 所以本题答案为29. 【答案点睛】 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 15、（，） 【答案解析】 求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可． 【题目详解】 解：AB的斜率k，|AB| 5， 设△ABC的高为h， 则∵△ABC的面积为5， ∴S|AB|hh＝5， 即h＝2， 直线AB的方程为y﹣ax，即4x﹣3y+3a＝0 若圆x2+y2＝9上有且仅有四个不同的点C， 则圆心O到直线4x﹣3y+3a＝0的距离d， 则应该满足d＜R﹣h＝3﹣2＝1， 即1， 得|3a|＜5 得a， 故答案为：（，） 【答案点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和AB的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键． 16、7 【答案解析】 由题，