2023年高考数学必胜秘诀九直线平面简单多面体doc高中数学.docx

高考数学必胜秘诀在哪？ ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 九、直线、平面、简单多面体 1、三个公理和三条推论： （1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。 （2）公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。 （3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3和三个推论是确定平面的依据。如（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件（答：充分非必要）；（2）给出命题：①假设A∈l，A∈α，B∈l ，B∈α，那么 l α；②假设A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，那么α∩β＝AB；③假设lα　，A∈l，那么Aα　④假设A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，那么α与β重合。上述命题中，真命题是_____（答：①②④）；（3）长方体中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在线段BD，A1C1上各有一点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=MQ，那么M点的轨迹图形的面积为_______（答：24） 2、直观图的画法（斜二侧画法规那么）：在画直观图时，要注意：（1）使，所确定的平面表示水平平面。（2）图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。如（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如以下列图的一个正方形，那么原来图形的形状是（　　）（答：A） （2）正的边长为，那么的平面直观图的面积为_____（答：） 3、空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点。（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点。如（1）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，那么直线EG和FH的位置关系_____（答：相交）；（2）给出以下四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；③两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_____（答：①③） 4、异面直线的判定：反证法。 如（1）“ａ、ｂ为异面直线〞是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ面α，ｂ面β且a∩b＝Φ；③ａ面α，ｂ面β且α∩β＝Φ；④ａ面α，b面α　；⑤不存在平面α，能使ａ面α且ｂ面α成立。上述结论中，正确的选项是_____（答：①⑤）；（2）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，那么MN与a的大小关系是_____（答：MN<a）；（3）假设E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且EG=3，FH=4，那么AC2+BD2= _____（答：50）；（4）如果ａ、ｂ是异面直线，P是不在ａ、ｂ上的任意一点，以下四个结论：①过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都相交；　②过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都垂直；③过点P一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行；　④过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都平行。其中正确的结论是_____（答：②）；（5）如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_____（答：24）；（6）平面求证：b、c是异面直线． 5、异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。如（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，那么OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；（3）异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，那么过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；（4）假设异面直线所成的角为，且直线，那么异面直线所成角的范围是____（答：）； 6、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。如（1）ABCD是矩形，沿对角线AC把ΔADC折起，使AD⊥BC，求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线；（2）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，那么由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线有____条（答：1）； 7、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 8、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理。 9、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。如（1）以下命题中，正确的选项是 Ａ、假设直线平行于平面内的一条直线b , 那么 // 　Ｂ、假设直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影，那么⊥b　　Ｃ、假设直线垂直于平面,直线b是平面的斜线，那么与b是异面直线　　Ｄ、假设一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，那么它一定是正棱锥（答：D）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，那么动点P的轨迹是___________（答：线段B1C）。 10、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；②面面平行的性质：假设两个平面平行，那么其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过直线且与平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（1）α、β表示平面，a、b表示直线，那么a∥α的一个充分不必要条件是　A、α⊥β，a⊥β　　　　　　B、α∩β＝b，且a∥b　C、a∥b且b∥α　D、α∥β且aβ（答：D）；（2）正方体ABCD-A１B１C１D１中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥面AA1B1B。 11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。如（1）如果命题“假设∥z，那么〞不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____（答：x、y是直线，z是平面）；（2）a，b，c是直线，α、β是平面，以下条件中能得出直线a⊥平面α的是　 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂα，ｃα　　B、a⊥b ，ｂ∥α　C、α⊥β，ａ∥β　 D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D）；（3）AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证：BD⊥平面AEF。 12、三垂线定理及逆定理：（1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（2）逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。 13、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，D在棱BB1上，BD=1，那么AD与平面AA1C1C所成的角为______（答：arcsin）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，那么棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：）；（3）是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，那么直线与平面所成角的余弦值为______（答：）；（4）假设一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ，那么sinθ的值为______（答：）。 14、平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线。 15、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行。（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。如（1）是两个不重合的平面，在以下条件中，不能判定平面的条件是A、是内一个三角形的两条边，且　　B、内有不共线的三点到的距离都相等　　C、都垂直于同一条直线　　D、是两条异面直线，，且（答：B）；（2）给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，那么这两个平面平行。其中正确的序号是___________（答：①③⑤）；（3）正方体ABCD-A１B１C１D１中AB=。①求证：平面AD1B1∥平面C1DB；②求证：A1C⊥平面AD1B1 ；③求平面AD1B1与平面C1DB间的距离（答：）； 16、二面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，那么垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：；（4）二面角的求法：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式，其中为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为________（答：）；（2）将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，那么二面角A-BD-C的余弦值是______（答：）；（3）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，那么二面角C1—BD1—B1的大小为______（答：）；（4）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，那么二面角B-PA-C的余弦值是______（答：）；（5）二面角α-