2023届静宁县第一中学高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍 C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍 D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 5．已知的展开式中的常数项为8，则实数（ ） A．2 B．-2 C．-3 D．3 6．已知（i为虚数单位，），则ab等于（ ） A．2 B．-2 C． D． 7．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称 10．已知函数，下列结论不正确的是（ ） A．的图像关于点中心对称 B．既是奇函数，又是周期函数 C．的图像关于直线对称 D．的最大值是 11．设函数定义域为全体实数，令．有以下6个论断： ①是奇函数时，是奇函数； ②是偶函数时，是奇函数； ③是偶函数时，是偶函数； ④是奇函数时，是偶函数 ⑤是偶函数； ⑥对任意的实数，． 那么正确论断的编号是（ ） A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤ 12．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________． 14．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________． 15．过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是__________． 16．已知，则=___________，_____________________________ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图所示的几何体中，，四边形为正方形，四边形为梯形，，，，为中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 18．（12分）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，，点的轨迹为． （1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程； （2）若点，直线的参数方程（为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程． 19．（12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，，且． （1）求的方程； （2）已知点是上的任意一点，不经过原点的直线与交于两点，直线的斜率都存在，且，求的值． 20．（12分）在中，内角所对的边分别为，已知，且. （Ｉ）求角的大小； （Ⅱ）若，求面积的取值范围. 21．（12分）椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上两动点使得四边形为平行四边形，且平行四边形的周长和最大面积分别为8和. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程. 22．（10分）已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 试题分析：如下图所示，则，因为与的夹角为，即，所以，设，则，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故选C． 考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质． 2、D 【答案解析】 利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可. 【题目详解】 在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为， 矩形中位于曲线上方区域的面积为， 矩形的面积为， 由几何概型的概率公式得，所以，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 3、D 【答案解析】 双曲线的渐近线方程是，所以，即 ， ，即 ，，故选D. 4、D 【答案解析】 先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项. 【题目详解】 依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 5、A 【答案解析】 先求的展开式，再分类分析中用哪一项与相乘，将所有结果为常数的相加，即为 展开式的常数项，从而求出的值. 【题目详解】 展开式的通项为， 当取2时，常数项为， 当取时，常数项为 由题知，则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对所取的项要进行分类讨论，属于基础题. 6、A 【答案解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解． 【题目详解】 ， ，得，． ． 故选：． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题． 7、A 【答案解析】 由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【题目详解】 由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项. 【答案点睛】 考查集合并集运算，属于简单题. 8、B 【答案解析】 由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得与的夹角. 【题目详解】 根据平面向量数量积的垂直关系可得， ， 所以，即， 由平面向量数量积定义可得， 所以，而， 即与的夹角为. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题. 9、B 【答案解析】 根据函数，在上是单调函数，确定 ，然后一一验证， A.若，则，由，得，但.B.由，，确定，再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0. 【题目详解】 因为函数，在上是单调函数， 所以 ，即，所以 ， 若，则，又因为，即，解得， 而，故A错误. 由，不妨令 ，得 由，得 或 当时，，不合题意. 当时，，此时 所以，故B正确. 因为，函数，在上是单调递增，故C错误. ，故D错误. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题. 10、D 【答案解析】 通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【题目详解】 解：，正确； ，为奇函数，周期函数，正确； ，正确； D： ，令，则，，，，则时，或时，即在上单调递增，在和上单调递减； 且，，，故D错误． 故选：． 【答案点睛】 本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题． 11、A 【答案解析】 根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明. 【题目详解】 当是偶函数，则， 所以， 所以是偶函数； 当是奇函数时，则， 所以， 所以是偶函数； 当为非奇非偶函数时，例如：， 则，，此时，故⑥错误； 故③④正确. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题. 12、D 【答案解析】 可以是共4个，选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得． 考点：二项式定理． 14、 【答案解析】 设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解． 【题目详解】 由题意，如图所示，设，则， 又由，，所以为的中点，为的三等分点， 则，， 所以 ． 【答案点睛】 本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 15、 【答案解析】 解答：由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2)，半径等于1. 由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7， |MO|2=a2+b2. 由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2. 整理得：4a+4b−7=0. ∴a，b满足的关系为：4a+4b−7=0. 求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值． 在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小， 由“垂线段最短”得，直线OM垂直直线4a+4b−7=0， 由点到直线的距离公式得：MN的最小值为： . 16、−196 −3 【答案解析】 由二项式定理及二项式展开式通项得：，令x=1，则1+a0+a1+…+a7=（1+1）×（1-2）7=-2，所以a0+a1+…+a7=-3，得解． 【题目详解】 由二项式(1−2x)7展开式的通项得， 则， 令x=1,则， 所以a0+a1+…+a7=−3， 故答案为：−196，−3. 【答案点睛】 本题考查二项式定理及其通项，属于中等题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2） 【答案解析】 (1)取的中点，结合三角形中位线和长度关系，为平行四边形，进而得到，根据线面平行判定定理可证得结论； (2)以，，为，，轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值； 【题目详解】 （1）取的中点，连结， 因为为中点，，， 所以，，∴为平行四边形， 所以， 又因为， 所以； （2）由题及（1）易知，，两两垂直， 所以以，，为，，轴建立空间直角坐标系, 则，，，，，， 易知面的法向量为 设面的法向量为 则 可得 所以, 如图可知二面角为锐角，所以余弦值为 【答案点睛】 本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键，属于中档题. 18、（1），；（2）. 【答案解析】 （1）设点极坐标分别为,，