2023年用变式训练培养学生数学解题能力.doc

用变式训练培养学生数学解题能力 在实际教学中，我们都遇到以下情况：讲过的原题有很多学生不会做；讲过的题目变化某个或某些条件大量学生难以体会他们的联系，从而不能顺利解决；一些比拟新颖的应用型题型绝大局部学生不会运用已有的知识和模型解决。 变式训练是培养学生解题能力的有效途径。教学中适当的变式训练可以激发学生强烈的求知欲，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性，切实大幅度提高学生的解题能力。 教学活动是教师的教与学生的学的“双向〞活动，教之以“鱼〞，不如授之以“渔〞，教学的目的不在于“鱼〞，而在授之“渔〞，数学例题教学更应如此。教学中假设能充分挖掘典型例题潜在功能，进行一题多解和一题多变，定会收到事半功倍的教学效果。在解决问题的过程中，先要对问题作整体分析，构造数学模型，再由表及里，揭示问题的实质，解决问题后由此及彼系统研究，触类旁通，教师要善于从横向、纵向、逆向、系统等多层次多方面上进行演变、扩展、加深数学教学的密度和容量，只有这样，才能到达既不增加学生负担，又能提高教学质量之目的，为了训练和培养学生运用知识解决问题的能力，课堂中进行变式训练是十分必要和有效的，在变式训练中，学生可以放开手脚自己去想象、琢磨，从而有时机从多角度，多侧面，多层次，多结论等方面去认识知识，学生的创造性思维得到了开展，思维活动的质量也得到了提高。 下面简单地谈一谈我在数学教学中如何进行变式训练 一、一题多解，触类旁通 一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。这样，通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，也可以暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。 例如： 图1 F A D E B C O · (2023·浙江湖州〕22．如图1，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F 〔1〕求证：EF⊙是O的切线； 〔2〕假设EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径． 分析：圆中切线的证明有两条思路：一是连半径，证垂直，利用切线的判定定理；二是作垂直，证半径，利用d=R。由于D点位于圆上，应该选用第一种思路。应连结OD，证明OD⊥EF，又因为CE⊥EF，所以只需要证明CE∥OD即可。把问题分析到这里，学生在证明两直线平行时出现了以下多种方法： 方法〔1〕如图，连结OD、OB,那么∠C=∠AOB, ∵D是的中点，∴∠AOD=∠BOD =∠AOB ∴∠C=∠AOD, ∴CE∥OD, 又∵CE⊥EF, ∴OD⊥EF，即EF⊙是O的切线 方法 (2) 如图，连结OD交AB与G， ∵ AC是⊙O的直径，∴∠ABC=900, ∴∴CE∥OD, 又∵CE⊥EF, ∴OD⊥EF，即EF⊙是O的切线 方法〔3〕如图，连结OD交AB与G， ∵D是的中点，O是圆心，∴AG=BG， ∵OA=OC,∴OG∥CB, 又∵CE⊥EF, ∴OD⊥EF，即EF⊙是O的切线 方法〔4〕连结CD、OD， ∵D是的中点，∴∠BCD=DCA, ∵OC=OD∴∠DCO=∠CDO, ∴∠BCD=∠CDO, ∴CE∥OD, 又∵CE⊥EF, ∴OD⊥EF，即EF⊙是O的切线 方法〔5〕连结OD交AB与G,证明四边形GDEB为矩形。 这道例题从不同的角度进行多向思维，把各个知识点〔垂径定理、等对等定理、圆周角定理、中位线定理、平行线的性质与判定、矩形的判定、圆的切线的判定等〕有机地联系起来，开展了学生的多向思维能力。 二、一题多变、总结规律，培养学生思维的深刻性。 通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术〞，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多〞。伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的〞，故而课堂教学要常新、善变；通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能。 A B G D E 〔第25题〕 F C A B G D E F C 〔图1〕 〔图2〕 例如：〔2023山西〕25．如图，正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC． 〔1〕试猜测AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论． 〔2〕将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG。你认为〔1〕中的结论是否还成立？假设成立，给出证明；假设不成立，请说明理由． 分析：这个问题中方形ABCD与正方形DEFG在旋转的过程中位置发生变化，但 △ADE与△CDG的全等关系是不变的，故结论也不变。 再如〔2023年无锡〕26．〔1〕如图1，在正方形ABCD中，M是BC边〔不含端点B、C〕上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．假设∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°， 图1 AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB =∠MAE．锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747．转载请注明！ 〔下面请你完成余下的证明过程〕 图2 〔2〕假设将(1)中的“正方形ABCD〞改为“正三角形ABC〞〔如图2〕,N是∠ACP的平分线上一点，那么当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由． 本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747．转载请注明！ 〔3〕假设将〔1〕中的“正方形ABCD〞改为“正边形ABCD…X〞，请你作出猜测：当∠AMN = °时，结论AM=MN仍然成立．〔直接写出答案，不需要证明〕 分析：条件中图形变数的变化也是常用的变式训练的有效途径。〔1〕中问题的解决需要证明△AEM≌△MCN，〔2〕中图形有正方形变成正三角形，∠AMN由90°变成60°，尽管两个条件同时改变，不变的是△AEM与△MCN的全等关系，〔3〕那么是由〔1〕〔2〕得到的一个猜测性的结论。 三、由特殊到一般，寻求突破口 题目中的特殊条件能把复杂的问题简单化，但结论和方法却有共性，由特殊到一般，往往能够化繁为简，找到解决问题的突破口。 例如：〔2023，浙江义乌〕如图1，∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点〔点P与点B不重合〕，连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F. 〔1〕如图2，当BP＝BA时，∠EBF＝　▲　°，猜测∠QFC＝ ▲ °； 〔2〕如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜测∠QFC的度数，并加以证明； 〔3〕线段AB＝，设BP＝，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．图1 A C B E Q F P 图2 A B E Q P F C 分析：在〔1〕中，很容易证明△ABP≌△AEQ(SAS)，∠AEQ是直角，易得 30°.＝ 60° ；在〔2〕中有〔1〕猜测＝60°，考虑△ABP与△AEQ是否仍然全等，运用同样的思路可证的结论。〔3〕在〔2〕的根底上，层层递进，综合运用全等与三角函数的知识加以解决。 四、条件结论互变，利用逆向思维加深理解 数学复习过程中可以把一局部内容的条件、结论互相交换，以此揭示这局部事物的内在联系，认识题目条件之间的各种关系，有助于对概念、定理加深理解，更有助于推理判断的提高。 例如： 毕节24．〔此题12分〕如图，CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线． 分析：引导学生分析出两种证法之后，作如下变式; 交换“点G是AD的中点〞与“GE是⊙O的切线〞，命题是否仍然成立，说明理由。 五、利用已有的数学模型，同类归一，类比变式 二次函数中的方案问题是难点也是近年中考出现的热点。为了突破这个难点，在教学中就可以把这类问题与一次函数方案问题类比变式变，把学生的思维逐步引向深刻，利用已用的一次函数的模型解决二次函数的问题。一次函数中，这一类问题的解决需要建立两个一次函数的解析式，然后分三种情况作比拟，最后作答。这是学生非常熟悉，掌握较好的一类问题，利用这个模型解决今年中考出现的含参数作比拟的利润问题， 例如： 〔2023河北省〕某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．假设只在国内销售，销售价格y〔元/件〕与月销量x〔件〕的函数关系式为y =x＋150，本钱为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内〔元〕〔利润 = 销售额－本钱－广告费〕．假设只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，本钱为a元/件〔a为常数，10≤a≤40〕，当月销量为x〔件〕时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外〔元〕〔利润 = 销售额－本钱－附加费〕． 〔1〕当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元； 〔2〕分别求出w内，w外与x间的函数关系式〔不必写x的取值范围〕； 〔3〕当x为何值时，在国内销售的月利润最大？假设在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值； 〔4〕如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 分析: 这个问题的解答过程，数学模型同一次函数方案是一样的，但由于是两个二次函数作比拟，问题的深度与计算量都大大增强，难怪上升为中考压轴题了。这样通过一个题的练习既解决了一类问题，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而不能自拔。近年来中考中试题广度、深度，应用，创新实践能力考察度有所增加以上几题均属于同源变形题，在课本中都能找到原始题型，以课本例题、习题为蓝本，衍生而来。“变式训练〞这种方法是培养学生良好的思维品质的良好素材，尤其是培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性、敏捷性有及其重要的意义。 “变式〞意味着变革与创新，它遵循教学的规律，按照循序渐进的步骤，激发、引导学生的思维，巧妙地把理论联系实际，而且万变不离课本其宗，教师，把课本知识灵活变动，培养学生随机应变的能力，充分发挥自身的主观能动性，强化创新意识，在探索中求进步，在学习中找经验。，通过种种训练引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维的完备性、深刻性和创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力。 五、我的研究反思 反思一：变式训练的选择应注意具有代表性，教学的成效不取决于运用的数量，而是看运用是否具有广泛意义上的典型性，能否突出学生认知的弱点和难点，能否有助于提高学生对同类相似问题的区分。 反思二：运用变式要与比拟相结合，变式是相对于例题的非本质的变化，仅仅呈现而不进行比拟，就不能发现其共同的本质特征，到达变式教学目的。 “变式训练〞的实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中，创设认知和技能的最近开展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动，开展能力。变式训练其实就是创新。实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生