2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版2.docx

1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛 1．选择题(此题总分值35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分) ⑴ 条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等． 条件乙：两个三角形全等． A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 ⑵ 条件甲：=a． 条件乙：sin+cos=a． A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 ⑶ 设α≠ (k≠0，±1，±2，……)， T=． A．T取负值 B．T取非负值 C．T取正值 D．T取值可正可负 ⑷ 下面四个图形中，哪一个面积大？ A．△ABC：∠A=60°，∠B=45°，AC= B．梯形：两条对角线的长度分别为和，夹角为75° C．圆：半径为1 D．正方形：对角线长度为2.5 ⑸ 给出长方体ABCD—A¢B¢C¢D¢，以下12条直线：AB¢，BA¢，CD¢，DC¢，AD¢，DA¢，BC¢，CB¢，AC，BD，A¢C¢，B¢D¢中有多少对异面直线？ A．30对 B．60对 C．24对 D．48对 ⑹ 在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2-x 这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1确定，t的取值范围是0≤t≤1 ，设M和N的公共面积是函数f(t)，那么f(t)为 A．－t2+t+ B．－2t2+2t C.1－t2 D. (t－2)2 ⑺ 对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？ A．至多有三个实根 B．至少有一个实根 C．仅当p2－4q≥0时才有实根 D．当p<0和q>0时，有三个实根 2．(此题15分) 以下表中的对数值有两个是错误的，请予纠正： x 3 5 lgx 2a+b+c－3 6a－3b－2 3a－b+c 1－2a+2b－c 2a－b a+c x 6 7 8 9 14 lgx 1+a－b－c 2(a+c) 3－3a－3c 4a－2b 1－a+2b 3．(此题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，假设CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证： PC∙QE+PD∙QF<2． 4．(此题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用A、B、C三种零件．每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A与1个C．用库存的A、B、C三种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，那么剩下2个A和1个B，但C恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的A、B、C三种零件都恰好用完． 5．(此题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点．设∠BPQ=θ，求θ的范围． 提示：利用入射角等于反射角的原理． 1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答 1．选择题(此题总分值35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分) ⑴ 条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等． 条件乙：两个三角形全等． A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 解：乙Þ甲，但甲Þ乙，应选B. ⑵ 条件甲：=a． 条件乙：sin+cos=a． A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 解：由=aÞ| sin+cos|=a；而sin+cos=a,Þ =|a|．应选D． ⑶ 设α≠ (k≠0，±1，±2，……)， T=． A．T取负值 B．T取非负值 C．T取正值 D．T取值可正可负 解：T=>0，选C． ⑷ 下面四个图形中，哪一个面积大？ A．△ABC：∠A=60°，∠B=45°，AC= B．梯形：两条对角线的长度分别为和，夹角为75° C．圆：半径为1 D．正方形：对角线长度为2.5 解：A中三角形面积=(3+)；B中梯形面积=(3+)； C中圆面积=π，D中正方形面积=·()2=．于是B=A<D<C．选C． ⑸ 给出长方体ABCD—A¢B¢C¢D¢，以下12条直线：AB¢，BA¢，CD¢，DC¢，AD¢，DA¢，BC¢，CB¢，AC，BD，A¢C¢，B¢D¢中有多少对异面直线？ A．30对 B．60对 C．24对 D．48对 解：每条面上的对角线都与5条面上的对角线异面．故共有5×12÷2=30对．选A． ⑹ 在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2-x 这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1确定，t的取值范围是0≤t≤1 ，设M和N的公共面积是函数f(t)，那么f(t)为 A．－t2+t+ B．－2t2+2t C.1－t2 D. (t－2)2 解：⊿OAB的面积=1。 直角边长为t的等腰直角三角形面积=t2.直角边长为2－(1+t)=1－t的等腰直角三角形面积=(1－t)2． f(t)=1－t2－(1－t)2=1－t2+t－=+t－t2( 0≤t≤1 )．选A． ⑺ 对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？ A．至多有三个实根 B．至少有一个实根 C．仅当p2－4q≥0时才有实根 D．当p<0和q>0时，有三个实根 解：画出y=x|x|及y=－px－q的图象：知A、B正确，C、D错误．选C、D． 2．(此题15分) 以下表中的对数值有两个是错误的，请予纠正： x 3 5 lgx 2a+b+c－3 6a－3b－2 3a－b+c 1－2a+2b－c 2a－b a+c x 6 7 8 9 14 lgx 1+a－b－c 2(a+c) 3－3a－3c 4a－2b 1－a+2b 解：假设lg3=2a－b，那么lg9=4a－2b及lg0.27=6a－3b－2，此三个数值同时正确或错误，故此三个数值都正确． 假设lg8=3－3a－3c，那么lg2=1－a－c，lg5=1－lg2=a＋c，lg6=lg3＋lg2=1＋a－b－c．由于此三数同时正确或错误，故此三个数值都正确． 于是lg1.5=lg3－lg2=(2a－b)－(1－a－c)=3a－b＋c－1与表中lg1.5=3a－b＋c矛盾．即lg1.5的数值错误． 假设lg2.8=1－2a＋2b－c，那么lg14=lg2.8＋lg5=(1－2a＋2b－c)＋(a＋c)=1－a＋2b，lg0.021=lg3＋lg14－lg2－3=(2a－b)＋(1－a＋2b)－(1－a－c)－3=2a＋b＋c－3，即此三个数值同时正确或错误，故此三个数值正确．lg7=lg14－lg2=(1－a＋2b)－(1－a－c)=2b＋c，与表中lg7=2a＋2c矛盾； ∴ 表中lg1.5与lg7是错误的，应为lg1.5=3a－b＋c－1，lg7=2b＋c． 3．(此题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，假设CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证： PC∙QE+PD∙QF<2． 证明：作OM⊥CD，垂足为M，交EF于N，设ON=n，OM=m． 那么CM=DM=，EN=FN=， 此题即证(＋m)( ±n)+( －m)( ∓n)<2． 展开得，·±mn<1． 移项，平方得，1－m2－n2＋m2n2<1∓2mn＋m2n2．Þm2＋n2>∓2mn． 取“+〞号时，M、N在点O同侧，此时m≠n，总之，命题成立． (当E、F交换位置时，且CD、EF在点O异侧时，可能有m=n．) 又证：PC2+PD2=(CM+OM)2+(CM－OM)2=2(CM2+OM2)=2，同理QE2+QF2=2． ∴ 4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2+QE2)+(PD2+QF2)≥2 (PC∙QE+PD∙QF)．等号当且仅当PC=QE，PD=QF时成立．但由，此二式不成立．故证． 4．(此题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用A、B、C三种零件．每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A与1个C．用库存的A、B、C三种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，那么剩下2个A和1个B，但C恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的A、B、C三种零件都恰好用完． 解：即：每个甲用 A2，B2， 每个乙用 B1，C1， 每个丙用 A2， C1． ∴ 共有A产品2p＋2r＋2件；B产品2p＋q＋1件；C产品q＋r件． 设组装m件甲，n件乙，k件丙，那么用2m＋2k件 A； 用2m＋n 件B； 用n＋k件 C． 如全部用完，那么有2p＋2r＋2=2m＋2k； Þp＋r＋1=m＋k． ⑴ 2p＋q＋1=2m＋n； ⑵ q＋r=n＋k． ⑶ ∴⑴＋⑵－⑶：3p＋2=3m．这是不可能的．故证． 5．(此题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点．设∠BPQ=θ，求θ的范围． 提示：利用入射角等于反射角的原理． 解：解：只要把这个正六边形经过5次对称变换．那么击球时应如下列图，击球方向在∠MPN内部时即可． 设AB=2，以P为原点，PB为x轴正方向建立直角坐标系，点M坐标为(8，3)．点N坐标为(10，3)，即θ∈[arctan，arctan]．