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2023
东辽
上学
期数
学理
期末
考试题
答案
辽源市东辽一中2023-2023学年度上学期期末考试
高二数学(理)答案
2023-01-04
本试卷分选择题和非选择题两局部共22题,共150分,共2页.考试时间为120分钟.考试结束后,只交答题卡.
第一卷(选择题,共计60分)
一、选择题(本大题共12小题,每题5分)
1. 命题“〞为假,且“〞为假,那么( )
A.或为假 B.为假 C.为真 D.不能判断的真假
2.椭圆的焦距为,那么的值等于( )
A.或 B.或 C.或 D.或
正视图
俯视图
侧视图
.
3.右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是腰长
为,底边长为的等腰三角形,那么该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
4. 以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
5. 直线,那么是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[来源:学#科#网Z#X#X#K]
6. 是正方体中平面与下底面所在平面的交线,
以下结论错误的选项是( ).
A. // B. 平面 C. //平面 D.
7. 设原命题:假设向量构成空间向量的一组基底,那么向量 不共线.
那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
8. 双曲线上一点与双曲线的两个焦点、的连线互相垂直,
那么三角形的面积为( )
A. B. C. D.
9. 两个圆与
的公切线有且仅有 ( )
A.条 B.条 C.条 D.条
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10. 是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,
那么线段的中点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上.假设该棱锥的高为,底面边长为,
那么该球的外表积为( )
A. B. C. D.
12. 如图,为四棱锥的棱的三等分点,
且,点在上,.四边形为
平行四边形,假设四点共面,那么实数等于( )
A. B. C. D.
第二卷(非选择题,共计90分)
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)
“〞的否认是 .
14. 平面的法向量,平面β的法向量,
假设∥,那么 __________________.
15. 点的坐标为,是抛物线的焦点,点是抛物线上的动点,
当取得最小值时,点的坐标为 .
16. 双曲线的左、右焦点分别为,
D
A
B
C
O
P
假设双曲线上存在一点使,x_k_b_1
那么该双曲线的离心率的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题总分值10分)
四棱锥的底面是边长为的正方形,
侧面是全等的等腰三角形,侧棱长为 ,
求它的外表积和体积.
18.(本小题总分值12分)
直线方程为.
(1)求证:不管取何实数值,此直线必过定点;
(2)过这定点作一条直线,使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分,求这条直线方程.
19.(本小题总分值12分)
在棱长为的正方体中,分别是棱的中点.
(1) 求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
20.(本小题总分值12分)
圆满足:①过原点;②圆心在直线上;③被轴截得的弦长为.
(1) 求圆的方程;
(2) 假设是圆上的动点,求点到直线距离的最小值.
21.(本小题总分值12分).
在斜三棱柱中,点、分别是、的中点,⊥平面.
,.
(1)证明:∥平面;
(2)求异面直线与所成的角;
(3)求与平面所成角的正弦值.
22.(本小题总分值12分)
椭圆:和直线:, 椭圆的离心率,
坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)定点,假设直线与椭圆相交于、两点,
试判断是否存在实数,使以为直径的圆过定点?假设存在求出这个值,
假设不存在说明理由.
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辽源市东辽一中2023-2023学年度上学期期末考试
高二数学(理)答案
一. 选择题:
二. 填空题:
13. 14. 15. 16.
三. 解答题:
17.解:过点作,垂足为,
由勾股定理得:
所以,棱锥的外表积 -----5分
过点作,垂足为,连接.
由勾股定理得:
所以,棱锥的体积 ------10分
18.(1)证明:将方程变形为
解方程组得:
所以,不管取何实数值,此直线必过定点.-----6分
(2)解:设所求直线交x轴y轴分别为点
由中点坐标公式得
所以直线的方程为: 即 ------12分
19. 解: (1)以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,
可得: ,那么中点
因所以
而 所以 平面 -------- 6分
(2)设平面的一个法向量为,因
由 令 得
同理平面的法向量为由
所以二面角的余弦值是 -------12分
F
E
D
C
B
A
20.解:(1)设圆的方程为
由可得: ,解方程组得:
所以, 圆的方程为或-----6分
(2)当圆的方程为时,
圆心到直线的距离为:
同理, 当圆的方程为时,
圆心到直线的距离也为:
所以, 点到直线距离的最小值为 -------12分
21.解 解法1:(1)证明:∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点,
∴OE∥AC1,
又∵EO⊄平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1,
∴OE∥平面AB1C1. -------4分
(2)∵AO⊥平面A1B1C1,
∴AO⊥B1C1,
又∵A1C1⊥B1C1,且A1C1∩AO=O,
∴B1C1⊥平面A1C1CA,
∴A1C⊥B1C1.
又∵AA1=AC,∴四边形A1C1CA为菱形,
∴A1C⊥AC1,且B1C1∩AC1=C1,
∴A1C⊥平面AB1C1,
∴AB1⊥A1C,即异面直线AB1与A1C所成的角为90°. ------8分
(3)∵O是A1C1的中点,AO⊥A1C1,
∴AC1=AA1=2,
又A1C1=AC=2,∴△AA1C1为正三角形,
∴AO=,又∠BCA=90°,
∴A1B1=AB=2,
设点C1到平面AA1B1的距离为d,
∵VA-A1B1C1=VC1-AA1B1,即·(·A1C1·B1C1)·AO=·S△AA1B·d.
又∵在△AA1B1中,A1B1=AB1=2,
∴S△AA1B1=,∴d=,
∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为. -------12分
解法2:∵O是A1C1的中点,AO⊥A1C1,
∴AC=AA1=2,又A1C1=AC=2,
∴△AA1C1为正三角形,
∴AO=,又∠BCA=90°,
∴A1B1=AB=2,
如图建立空间直角坐标系O-xyz,那么A(0,0,),A1(0,-1,0),E(0,-,),
C1(0,1,0),B1(2,1,0),C(0,2,).
(1)∵=(0,-,),=(0,1,-),
∴=-,即OE∥AC1,
又∵EO⊄平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1,
∴OE∥平面AB1C1. -------4分
(2)∵=(2,1,-),=(0,3,),
∴·=0, 即∴AB1⊥A1C,
∴异面直线AB1与A1C所成的角为90°. -------8分
(3)设A1C1与平面AA1B1所成角为θ,=(0,2,0),
=(2,2,0),=(0,1,),
设平面AA1B1的一个法向量是n=(x,y,z),
那么即
不妨令x=1,可得n=(1,-1,),
∴sinθ=cos〈,n〉==,
∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为. -------12分
22. 解:(1)直线L:,
由题意得: 又有,
解得:椭圆的方程为. ——5分
(2)假设存在,那么,设,那么:
联立 ,得:
代入(x)式,解得:,满足 —— 12分