2023届浙江省湖州、衢州、丽水三地市高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（ ）． A． B． C．4 D．9 2．已知集合,，则 A． B． C． D． 3．设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 4．已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．若函数在处有极值，则在区间上的最大值为（ ） A． B．2 C．1 D．3 6．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（ ） A．12 B． C． D． 7．设复数，则=（ ） A．1 B． C． D． 8．已知为虚数单位，若复数，则 A． B． C． D． 9．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） A．56 B．60 C．140 D．120 10．下列函数中，图象关于轴对称的为（ ） A． B．， C． D． 11．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在数列中，已知，则数列的的前项和为__________. 14．曲线在点处的切线方程为______. 15．（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为cm，中间两个和尚的身高之和为cm，则最高的和尚的身高是____________ cm． 16．若实数满足不等式组，则的最小值是___ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，. （1）当时，求函数的值域； （2），，求实数的取值范围. 18．（12分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点. （1）证明:点在轴的右侧; （2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率 19．（12分）已知，函数. （Ⅰ）若在区间上单调递增，求的值； （Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（参考数据：） 20．（12分）已知函数 （1）若，求证： （2）若，恒有，求实数的取值范围. 21．（12分）如图，平面四边形为直角梯形，，，，将绕着翻折到. （1）为上一点，且，当平面时，求实数的值； （2）当平面与平面所成的锐二面角大小为时，求与平面所成角的正弦. 22．（10分）已知椭圆过点，设椭圆的上顶点为，右顶点和右焦点分别为，，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交椭圆于，两点，设直线与直线的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果. 【题目详解】 根据题意，，则 在中，又, 则 则 则 则 故选：B 【答案点睛】 此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目. 2、D 【答案解析】 因为,,所以,,故选D． 3、A 【答案解析】 由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率． 【题目详解】 由题意∵，∴由双曲线定义得，从而得，， 在中，由余弦定理得，化简得． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式． 4、C 【答案解析】 试题分析：如下图所示，则，因为与的夹角为，即，所以，设，则，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故选C． 考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质． 5、B 【答案解析】 根据极值点处的导数为零先求出的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可. 【题目详解】 解：由已知得，，，经检验满足题意. ，. 由得；由得或. 所以函数在上递增，在上递减，在上递增. 则，， 由于，所以在区间上的最大值为2. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题． 6、C 【答案解析】 过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可. 【题目详解】 在和中，，所以，则， 过作于，连接，显然，则，且， 又因为，所以平面， 所以， 当最大时，取得最大值，取的中点，则， 所以， 因为，所以点在以为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8， 所以的最大值为椭圆的短轴长的一半，故最大值为， 所以最大值为，故的最大值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 7、A 【答案解析】 根据复数的除法运算，代入化简即可求解. 【题目详解】 复数， 则 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题. 8、B 【答案解析】 因为，所以，故选B． 9、C 【答案解析】 试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用． 10、D 【答案解析】 图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解. 【题目详解】 图象关于轴对称的函数为偶函数； A中，，，故为奇函数； B中，的定义域为， 不关于原点对称，故为非奇非偶函数； C中，由正弦函数性质可知，为奇函数； D中，且，，故为偶函数. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法: (1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数 (2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称． 11、B 【答案解析】 先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【题目详解】 解不等式可得， 解绝对值不等式可得， 由于为的子集， 据此可知“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题. 12、B 【答案解析】 求出的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出的范围即可． 【题目详解】 解：令，则， 则， 故，如图示： 由， 得， 函数恒过，， 由，， 可得，，， 若方程有唯一解， 则或，即或； 当即图象相切时， 根据，， 解得舍去）， 则的范围是， 故选：． 【答案点睛】 本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由已知数列递推式可得数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到，再由求解． 【题目详解】 解：由， 得， ， 则数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列． ， ． ． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题． 14、 【答案解析】 对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程. 【题目详解】 令，，所以，又，所求切线方程为，即. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题. 15、 【答案解析】 依题意设前三个和尚的身高依次为，第四个(最高)和尚的身高为，则，解得，又，解得，又因为成等比数列,则公比，故. 16、-1 【答案解析】 作出可行域，如图： 由得,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A（1,0） 所以-1 故答案为-1 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）将代入函数的解析式，将函数的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域； （2）由参变量分离法得出在区间内有解，分和讨论，求得函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【题目详解】 （1）当时，. 当时，； 当时，. 函数的值域为； （2）不等式等价于， 即在区间内有解 当时，，此时，，则； 当时，， 函数在区间上单调递增，当时，，则. 综上，实数的取值范围是. 【答案点睛】 本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 18、（1）证明见解析（2） 【答案解析】 （1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点的横坐标即可证出； （2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由与的面积相等列式，即可解出直线的斜率． 【题目详解】 （1）由题意，得，直线（） 设，， 联立消去，得， 显然，， 则点的横坐标， 因为， 所以点在轴的右侧． （2）由（1）得点的纵坐标． 即． 所以线段的垂直平分线方程为：． 令，得；令，得． 所以的面积， 的面积． 因为与的面积相等， 所以，解得． 所以当与的面积相等时，直线的斜率． 【答案点睛】 本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题． 19、（Ⅰ）；（Ⅱ）3. 【答案解析】 （Ⅰ）先求导，得，已知导函数单调递增，又在区间上单调递增，故，令，求得，讨论得，而，故，进而得解； （Ⅱ）可通过必要性探路，当时，由知，又由于，则