2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案函数应用与最值高中数学.docx

2．13 函数的应用与最值 ——最优化是现实中理想的追求,最优化问题就是最值问题,是应用题的焦点 一、明确复习目标 1．理解最值的的概念，掌握求最值的方法； 2．掌握解应用题的一般步骤和建模方法。 二．建构知识网络 1．函数的最值的定义：函数y=f(y)，定义域为A，假设存在y0∈A，使得对任意的y∈A，恒有成立，那么称为函数的最小〔大〕值。 2.求函数最值的方法〔求最值与求值域一般相同,最值问题更具综合性和灵活性〕 〔1〕配方法：用于二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的最值问题； 〔2〕判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的最值,但必须检验这个最值在定义域内有相应的x的值； 〔3〕不等式法：利用平均不等式求最值,注意一正二定三等； 〔4〕换元法:通过变量代换,化繁为简,化难为易,化未知为,其中三角代换是重要方法。换元后须注意新变量的取值范围； 〔5〕数形结合法(图象法)：当一个函数图象可作时，通过图象可求其最值； 〔6〕单调性法：利用函数的单调性求最值； 〔7〕求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值. 3．解应用题的一般程序 (1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是根底. (2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确进行建“模〞是关键的一关。 (3)求解：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。 (4)作答：将数学结论复原给实际问题的过程。 4．常见函数模型 (1)二次函数型。 (2) “对钩函数〞型 (3) 分段函数模型。 (4) y=N(1+p)y型及数列型 三、双基题目练练手 1.函数f〔y〕=的最大值是 ( ) A. B. C. D. 2．如果0<a<1,0<x≤y<1，且logax·logay=1，那么xy 〔 〕 A．有最大值，也有最小值 B．无最大值，但有最小值 C．有最大值，但无最小值 D．无最大值也无最小值 3．如果实数x、y满足(x－2)2+y2=3，那么的最大值是 〔 〕 A． B． C． D． 4.东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出，假设每床每夜收费提高2元，便减少10张床租出，再提高2元，又再减少10张床租出，依此变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应提高租金〔B〕 A．4元 B、6元 C、4元或6元 D、8元 5．设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。那么x的取值范围是 。 6．假设，那么y+y的最小值是_____________. 7 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，两地铁路线长400千米，为了平安，两列货车间距离不得小于()2千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长) 简答提示:1-4.DCDB; 1.配方法分母≥3/4, 再由不等式法; 2.设. ,当k=1,即x=y=a时取等号.k+1/k无最大值,xy无最小值; 3.数形结合; 4. 设提价2x元,那么获利y=(10+x)(100-10x)= -20(x2-5x-50),x=2或3时最大,x=3时投资小; 5．即f(m)=(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立， 那么f(2)<0且f(-2)<0解得x∈〔,〕; 6.设x=cosα,y=cosβ, 由x,y不能取负值,否那么,假设x<0,那么那么不成立,故x,y均不小于0. ∴cosαsinβ+cosβsinα=1,α+β=π/2,x+y=cosα+sinα最小值是1； 7 t=+16×()2/V=+≥2=8 四、经典例题做一做 【例1】函数f(x)=, x∈［1,+∞ (1)当a=时，求函数f(x)的最小值 (2)假设对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围 解:(1) 当a=时，f(x)=x++2 ∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数， ∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)= (2)解法一: 在区间［1，+∞上， f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立 设y=x2+2x+a, x∈［1,+∞ ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增， ∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立， 故a>－3  解法二:f(x)=x++2, x∈［1,+∞ 当a≥0时，函数f(x)的值恒为正； 当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a, 当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3 解法分析：〔1〕中不能用用判别式法求最值, 对也不能用均值不等式求最值，只能用〞对钩〞函数的的单调性求最值. 〔2〕中法一转化的很高明，法二是这一类题的一般解法。 【例2】某农产品去年各季度的市场价格如下表： 今年某公司方案按去年各季度市场价的“最正确近似值m〞〔m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值〕收购该种农产品，并按每100元纳税10元〔又称征税率为10个百分点〕，方案可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。 〔1〕根据题中条件填空，m= 〔元/担〕 〔2〕写出税收y〔万元〕与x的函数关系式； 〔3〕假设要使此项税收在税率调节后不少于原方案税收的83.2%，试确定x的取值范围。 解:设平方和为y (1) 取最小值时,故应填200. (2)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额200·a(1+2x%),依题意， 〔3〕原方案税收为〔万元〕，依题意，得： , 解得: 答:x的取值范围是0<x≤2. 方法提炼:理清m 的实际意义求出m;建模,解二次不等式. 【例3】某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件：〔1〕修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%，〔2〕用拆去1m旧墙的材料建1m新墙，其费用是建1m新墙费用的50%，〔3〕建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？ 解：设利用旧墙的一面矩形边长为x，那么矩形的另一面边长为 〔1〕利用旧墙的一段xm(x<14)为矩形的一面长，那么修旧墙的费用为，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为，其余的建新墙的费用为 故总费用 ∴当且仅当x=12时，y最小=7a(6-1)=35a (2)假设利用旧墙的一面矩形边长x≥14,那么修旧墙的费用为，建新墙的费用为，故总费用 设 上为增函数， ∴当x=14时， 所以，采用第一种方案，利用旧墙12m为矩形的一面边长，使建墙费用最省。 特别提醒: 此题要对厂房一边长<、>14两种方案都作讨论. 【例4】某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，假设救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度2米/秒,在AD上找一落点C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间。 解： ,那么从A经C到B的时间为t, 因此点C应选沿岸边AD距D点米处,才能使救生员从A经C到B所用的时间最短为秒 法二：设∠DBC=α那么，用时 记,它表示点(cosα,sinα)和(0,3)连线的斜率,结合图形知当连线与圆弧相切时k 最大,t最小,y=ky+3代入y2+y2=1,Δ=0,得, 此时,最小. 解法研讨:法一:以CD长为自变量建模,导数法求最值;法二:以∠DBC为自变量建模,方法更具灵活性. 【研讨.欣赏】 (2023湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1－污物质量÷物体质量〔含污物〕〕为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为a(1≤a≤3). 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是c=, (0.8<c<0.99, x>a-1), 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是, (Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量, 并比拟哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)假设采用方案乙, 当a为某定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 解：〔Ⅰ〕设方案甲与方案乙的用水量分别为与，由题设有，解得 由得方案乙初次用水量为3，第二次用水量满足方程 ，解得，故 即两种方案的用水量分别为19与。 因为当时，，即， 故方案乙的用水量较少 〔Ⅱ〕设初次与第二次清晰的用水量分别为与，类似〔Ⅰ〕得 〔x〕 于是 当为定值时， 当且仅当 时等号成立，此时〔不合题意，舍去〕 或〔0.8，0.99〕 将代入〔x〕式得 故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量是 当时，，故是增函数〔也可以用二次函数的单调性判断〕。这说明，随着的值的增加，最少总用水量增加。 五．提炼总结以为师 1．熟练掌握求函数最值的几种方法，并能灵活转化运用； 2．用不等式求最值时要注意“=〞的成立条件; 3．不等式恒成立问题转化为最值问题 4．解应用题的一般程序:(1)审题 (2)建模;(3)求解;(4)作答 同步练习 2．13 函数的应用与最值 【选择题】 1．〔2023上海〕假设函数, 那么该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 2.〔2023湖北〕函数f(x)=a2+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，那么a的值为〔 〕 A． B． C．2 D．4 3. 设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根， x12+x22的最小值为( ) A. B. C.-m2+m+2 D.1 【填空题】 4.(2023天津)某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么 吨． 5．假设x、y∈R，且x2+y2=1，那么〔1－xy〕(1+xy)的最小值是______，最大值是_____ . 6.某工厂八年来某种产品总产量c与时间t〔年〕的函数如以下图，以下四种说法： 〔1〕前三年中产量增长的速度越来越快； 〔2〕前三年中产量增长的速度越来越慢； 〔3〕第三年后，这种产品停止生产； 〔4〕第三年后，年产量保持不变， 其中说法正确的序号是____. 简答提示:1-3.ABB; 3.注意Δ≥0限制m的范围; 4.总费用,当x=20时取等号,费用最小.答:20; 5.三角代换,令x=cosα,y=sinα.答案:3/4, 1; 6.增长速度是切线斜率,(2)对;三年后总产不变,即停产,(3)对,答案:(2),(3); 【解答题】 7.设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+) (1)证明:当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；