2023届湖北省黄梅国际育才高级中学高三第二次调研数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（ ） A． B． C．1 D．2 3．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．为纯虚数 5．函数的图像大致为（ ）. A． B． C． D． 6．下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( ) A．. B． C． D． 7．已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（ ） A． B． C． D． 8．设，则 A． B． C． D． 9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A． B． C．2 D． 10．直三棱柱中，，，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ） A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺 12．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在中，角的对边分别为，且．若为钝角，，则的面积为____________． 14．在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_____. 15．已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范围为______. 16．在平面直角坐标系中，双曲线的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. (Ⅰ) 求函数的单调区间； (Ⅱ) 当时，求函数在上最小值. 18．（12分）已知椭圆：（），点是的左顶点，点为上一点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与的另一个交点为（异于点），是否存在直线，使得以为直径的圆经过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 19．（12分）已知函数. （1）求的单调区间； （2）讨论零点的个数. 20．（12分）已知函数. （1）讨论的零点个数； （2）证明：当时，. 21．（12分）已知函数在上的最大值为3. （1）求的值及函数的单调递增区间; （2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围. 22．（10分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由题意画出图形，设球0得半径为R，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R2=5，再求出三角形A BC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱锥体积公式得答案. 【题目详解】 设球的半径为，，， 由，得． 如图： 设三角形的外心为，连接，，， 可得，则． 在中，由正弦定理可得：， 即， 由余弦定理可得，， ． 则三棱锥的体积的最大值为． 故选：． 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题． 2、A 【答案解析】 根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值. 【题目详解】 由于向量，，且，所以解得. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题. 3、D 【答案解析】 过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【题目详解】 解：因为，，所以，即 过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，，，，0，，，1，， ，， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 同理可求平面的法向量， 平面的法向量，平面的法向量． ，，． ． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 4、D 【答案解析】 将复数整理为的形式，分别判断四个选项即可得到结果. 【题目详解】 的虚部为，错误；，错误；，错误； ，为纯虚数，正确 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题. 5、A 【答案解析】 本题采用排除法: 由排除选项D； 根据特殊值排除选项C; 由,且无限接近于0时, 排除选项B； 【题目详解】 对于选项D:由题意可得, 令函数 , 则,; 即.故选项D排除; 对于选项C：因为,故选项C排除; 对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,，此时.故选项B排除; 故选项:A 【答案点睛】 本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题. 6、C 【答案解析】 根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【题目详解】 A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误； B中，，所以在区间上为减函数，则错误； D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误； 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题. 7、A 【答案解析】 设出A，B的坐标，利用导数求出过A，B的切线的斜率，结合，可得x1x2＝﹣1．再写出OA，OB所在直线的斜率，作积得答案． 【题目详解】 解：设A（），B（）， 由抛物线C：x2＝1y，得，则y′． ∴，， 由，可得，即x1x2＝﹣1． 又，， ∴． 故选：A． 点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A,B,,再求切线PA,PB方程， 求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一些. 8、C 【答案解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 9、A 【答案解析】 由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形， 且两直角边分别为和，所以底面面积为 高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A． 10、A 【答案解析】 设，延长至，使得，连，可证，得到（或补角）为所求的角，分别求出，解即可. 【题目详解】 设，延长至，使得， 连，在直三棱柱中，， ，四边形为平行四边形， ，（或补角）为直线与所成的角， 在中，， 在中，， 在中， ， 在中，， 在中，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题. 11、A 【答案解析】 由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示： 沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的 四棱锥的体积 由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺． 故选A． 【答案点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键． 12、D 【答案解析】 由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可． 【题目详解】 解：如图， ∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小， ∴ 设正方体的棱长为，则， ∴． 取，连接，则共面， 在中，设到的距离为， 设到平面的距离为， . 故选D． 【答案点睛】 本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 转化为，利用二倍角公式可求解得，结合余弦定理可得b，再利用面积公式可得解. 【题目详解】 因为， 所以． 又因为，且为锐角， 所以． 由余弦定理得， 即，解得， 所以 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 14、. 【答案解析】 计算外接圆的半径，并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据面，即可得解. 【题目详解】 由题意可知，， 所以可得面， 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，即，， 设三棱锥外接球的半径， 因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点， 则， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题. 15、 【答案解析】 由复数对应的点，在第二象限，得，且，从而求出实数的范围． 【题目详解】 解：∵复数对应的点位于第二象限，∴，且， ∴， 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式，且 是解题的关键，属于基础题． 16、 【答案解析】 求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积． 【题目详解】 解：双曲线：双曲线中，，， 则双曲线的一条准线方程为， 双曲线的渐近线方程为：， 可得准线方程与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标，，，， 则三角形的面积为． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计