2023届江西省南昌二中高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A． B． C． D． 3．已知双曲线：的焦点为，，且上点满足，，，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．5 4．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，则下列结论中正确的是 ①函数的最小正周期为； ②函数的图象是轴对称图形； ③函数的极大值为； ④函数的最小值为． A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 6．已知，，由程序框图输出的为（ ） A．1 B．0 C． D． 7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A． B． C． D．8 8．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 9．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 11．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（ ） A．56 B．72 C．88 D．40 12．已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为 A．2 B．3 C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于、两点，且,，则椭圆的离心率为__________． 14．在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为______. 15．若函数，则__________；__________. 16．在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）若射线与和分别交于点，求． 18．（12分）的内角，，的对边分别是，，，已知. （1）求角； （2）若，，求的面积. 19．（12分）已知，. （1）当时，证明：； （2）设直线是函数在点处的切线，若直线也与相切，求正整数的值. 20．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角. 21．（12分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，证明. 22．（10分）在直角坐标系中，已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A． 考点：集合的运算． 2、A 【答案解析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且， 再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得， 所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，， 因为，所以，所以， 又由点在椭圆上，得 ② 由，可得，解得， 所以， 所以椭圆的离心率为. 故选A. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 3、D 【答案解析】 根据双曲线定义可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出离心率. 【题目详解】 依题意得，，，因此该双曲线的离心率. 【答案点睛】 本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力. 4、A 【答案解析】 求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【题目详解】 抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2， 又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用． 5、D 【答案解析】 因为，所以①不正确； 因为，所以， ，所以， 所以函数的图象是轴对称图形，②正确； 易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可．当时，，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，③正确； 因为，所以，所以函数的最小值为，④正确． 故选D． 6、D 【答案解析】 试题分析：，，所以，所以由程序框图输出的为.故选D． 考点：1、程序框图；2、定积分． 7、A 【答案解析】 由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积． 【题目详解】 由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2， 直观图如图所示，． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 8、C 【答案解析】 根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【题目详解】 解：是奇函数，是偶函数， ，， ，故函数是奇函数，故错误， 为偶函数，故错误， 是奇函数，故正确． 为偶函数，故错误， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 9、D 【答案解析】 画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围． 【题目详解】 画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示． 表示封闭区域内的点和定点连线的斜率， 设，结合图形可得或， 由题意得点A,B的坐标分别为， ∴， ∴或， ∴的取值范围为． 故选D． 【答案点睛】 解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题． 10、A 【答案解析】 根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解. 【题目详解】 ∵， 集合， ∴由交集运算可得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 11、B 【答案解析】 ，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可. 【题目详解】 由已知，，，故，解得或（舍）， 故，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题. 12、D 【答案解析】 本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果。 【题目详解】 根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点， 因为，在双曲线上， 所以根据双曲线性质可知，，即，， 因为圆的半径为，是圆的半径，所以， 因为，，，， 所以，三角形是直角三角形， 因为，所以，，即点纵坐标为， 将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，， 将点坐标带入双曲线中可得， 化简得，，，，故选D。 【答案点睛】 本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 设,则,,由知, ,,作,垂足为C，则C为的中点,在和中分别求出,进而求出的关系式,即可求出椭圆的离心率. 【题目详解】 如图,设,则,, 由椭圆定义知,, 因为,所以,, 作,垂足为C，则C为的中点, 在中,因为, 所以， 在中,由余弦定理可得, ， 即,解得, 所以椭圆的离心率为. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 14、 【答案解析】 化简得到，，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案. 【题目详解】 ，即，，故. 根据余弦定理：，即. 当时等号成立，故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 15、0 1 【答案解析】 根据分段函数解析式，代入即可求解. 【题目详解】 函数， 所以， . 故答案为：0；1. 【答案点睛】 本题考查了分段函数求值的简单应用，属于基础题. 16、 【答案解析】 点在的平分线可知与向量共线，利用线性运算求解即可. 【题目详解】 因为点在的平线上， 所以存在使， 而， 可解得， 所以， 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）： ;: ．(2) 【答案解析】 （1）由可得， 由，消去参数，可得直线的普通方程为． 由可得，将，代入上式，可得， 所以曲线的直角坐标方程为． （2）由（1）得，的普通方程为， 将其化为极坐标方程可得， 当时，，， 所以． 18、（1） （2） 【答案解析】 （1）利用余弦定理可求，从而得到的值. （2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得，得到值后利用面积公式可求. 【题目详解】 （1）由，得. 所以由余弦定理，得. 又因为，所以. （2）由，得. 由正弦定理，得，因为，所以. 又因，所以. 所以的面积. 【答案点睛】 在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式. 19、（1）证明见解析；（2）. 【答案解析】 （1）令，求导，可知单调递增，且，，因而在上存在零点，在此取得最小值，再证最小值大于零即可. （2）根据题意得到在点处的切线的方程①，再设直线与相切于点， 有，即，再求得在点处的切线直线的方程为 ②由①