中国科学:数学2023年第53卷第2期:325∼338SCIENTIASINICAMathematica论文英文引用格式:WeiX,ZhangXD.Newresultsonternaryconstantweightcodesunderℓ1-metric(inChinese).SciSinMath,2023,53:325–338,doi:10.1360/SSM-2022-0051c©2022《中国科学》杂志社www.scichina.commathcn.scichina.comℓ1度量下三元常重码的新进展献给朱烈教授80华诞魏歆,张先得∗中国科学技术大学数学科学学院,合肥230026E-mail:weixinma@mail.ustc.edu.cn,drzhangx@ustc.edu.cn收稿日期:2022-03-28;接受日期:2022-06-18;网络出版日期:2022-08-23;*通信作者国家自然科学基金(批准号:12171452和11771419)、科技创新2030—“量子通信与量子计算机”重大项目(批准号:2021ZD0302904)、国家重点研发计划(批准号:2020YFA0713100)和量子信息技术安徽省引导性项目(批准号:AHY150200)资助项目摘要ℓ1度量下的常重码在活体DNA存储技术中有非常重要的应用.本文研究长度为n、ℓ1权重为w、最小ℓ1距离为2w−4的最优三元常重码的大小.对一般的n和w,本文给出码字个数的上界.当w=6时,本文利用计算代价的方式改进了上界,并通过构造码类给出下界.从而对所有奇数n≠≡9,13,17(mod20)分情形确定了最大码字个数在渐近意义下的精确值或n的一阶、二阶系数.关键词常重码ℓ1度量填充超图分解DNA存储MSC(2020)主题分类94B25,05B401引言常重码是编码理论中的经典研究对象,其任意一个码字在对应度量下有相同的权重.Hamming距离下的常重码由于其在诸多领域中的重要应用(参见文献[7,14,23])以及与组合设计之间的紧密联系(参见文献[2–4,29,30])而被广泛研究.然而非Hamming距离下常重码的研究非常稀少.关于ℓ1距离的研究之前多见于闪存的秩调制方案(rankmodulationscheme)等领域(参见文献[1,10,26,31]).基于Jain等[8]关于活体DNA存储方案的研究,本文考虑ℓ1距离下的常重码.另外,在一些信息以多重集合的形式出现的交流信道里,ℓ1距离下的常重码也有广泛应用,具体参见文献[15,16,24].记长度为n、最小ℓ1距离为d、每个码字ℓ1权重为w的q元常重码为(n,d,w)q码.一个(n,d,w)q码能达到的最大码字个数记为Aq(n,d,w),称取到极值情形的码为最优码.确定Aq(n,d,w)的值并构造相应的最优码是编码理论的核心问题之一.当q=2时,ℓ1距离和Hamming距离等价.当q>2时,两种距离不再等价,关于ℓ1距离上的常重码的结果十分稀少,据作者所知目前只有文献[5,11,15,28].其中,Kovaˇcevi´c和Tan[15]用格(lattice)理论和Bh集研究了q⩾w...
