2023届江西省宜春巿高安中学高三六校第一次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A． B．4 C． D． 2．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ） A． B． C． D． 3．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 4．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．定义，已知函数，，则函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，已知、、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（ ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 10．要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ） A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度 B．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度 C．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度 D．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度 11．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 12．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数的单调增区间为__________. 14．双曲线的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________. 15．（5分）国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是，则这五位同学答对题数的方差是____________． 16．已知实数，满足约束条件则的最大值为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）解不等式； （2）记函数的最大值为，若，证明：. 18．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且． 证明：直线与圆相切； 求面积的最小值． 19．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点． （I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）； （II）设，若，，成等比数列，求的值． 20．（12分）设数列的前n项和满足，，， （1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔ （2）设，求证：. 21．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求的面积的值（或最大值）．已知的内角，，所对的边分别为，，，三边，，与面积满足关系式：，且 ，求的面积的值（或最大值）． 22．（10分）已知是圆：的直径，动圆过，两点，且与直线相切. （1）若直线的方程为，求的方程； （2）在轴上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恰好与轴相切？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果. 【题目详解】 程序运行过程如下： ，；，；，； ，；，； ，；，，退出循环，输出结果为， 故选：A. 【答案点睛】 该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目. 2、C 【答案解析】 由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为，上部半圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故应选． 3、D 【答案解析】 首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积. 【题目详解】 如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心， 当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上， 、分别为、的中点，则必有， ，即为直角三角形. 对于等腰梯形，如图： 因为是等边三角形，、、分别为、、的中点， 必有， 所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图 ，， 所以四棱锥底面的高为， . 故选：D. 【答案点睛】 本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目. 4、C 【答案解析】 根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时的值，进而得判断框内容. 【题目详解】 根据循环程序框图可知， 则， ， ， ， ， 此时输出，因而不符合条件框的内容，但符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题. 5、A 【答案解析】 由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解. 【题目详解】 解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为， 抛物线的准线过双曲线的左焦点， ． 抛物线的准线被双曲线截得的线段长为， ，又， ， 则双曲线的离心率为． 故选：． 【答案点睛】 本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． 6、A 【答案解析】 根据分段函数的定义得，，则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【题目详解】 依题意得，，则, (当且仅当，即时“”成立.此时,，，的最小值为， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出，再由基本不等式求得最值，属于中档题. 7、A 【答案解析】 将双曲线方程化为标准方程为，其渐近线方程为，化简整理即得渐近线方程. 【题目详解】 双曲线得，则其渐近线方程为， 整理得. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用. 8、B 【答案解析】 连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解． 【题目详解】 如图，连接，使交于点，连接、，则为的中点， 在正方体中，且，则四边形为平行四边形， 且， 、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，因此，平面. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题． 9、B 【答案解析】 先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程. 【题目详解】 设直线与圆相切于点， 因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以， 又因为圆与直线的切点为，所以， 又，所以， 因此， 因此有， 所以，因此渐近线的方程为. 故选B 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 10、B 【答案解析】 分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可． 详解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到 再将得到的图象向左平移个单位长度得到 故选B． 点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合和的关系是解决本题的关键． 11、B 【答案解析】 取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【题目详解】 取的中点，连接、， 由和都是正三角形，得，，则，则，由勾股定理的逆定理，得. 设球心为，和的中心分别为、. 由球的性质可知：平面，平面， 又，由勾股定理得. 所以外接球半径为. 所以外接球的表面积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 12、D 【答案解析】 先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【题目详解】 构造函数， 因为， 所以， 所以为奇函数， 当时，，所以在上单调递减， 所以在R上单调递减. 因为存在， 所以， 所以， 化简得， 所以，即 令， 因为为函数的一个零点， 所以在时有一个零点 因为当时，， 所以函数在时单调递减， 由选项知，， 又因为， 所以要使在时有一个零点， 只需使，解得， 所以a的取值范围为，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合，从而可得函数的单调增区间. 【题目详解】 函数的定义域为. ， 令，则，故函数的单调增区间为：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题. 14、 【答案解析】 通过双曲线的标准方程，求解，，即可得到所求的结果． 【题目详解】 由双曲线，可得，，则， 所以双曲线的焦点坐标是， 渐近线方程为：． 故答案为：；． 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题． 15、2 【答案解析】 由这五位同学答对的题数分别是，得该组