2023年高三数学14分突破一轮复习必备精品8高中数学.docx

考纲导读 第八章解三角形 〔一〕正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 (二) 应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 知识网络 解三角形 正弦定理 余弦定理 正弦定理的变形形式 余弦定理的变形形式 解三角形 应用举例 测量实习 高考导航 正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． 根底过关 第1课时 三角形中的有关问题 1．正弦定理： 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： ⑴ 两角和一边，求其他两边和一角； ⑵ 两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理： 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 三边，求三角； ⑵ 两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 典型例题 例1. 在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求角A、C及边c． 解 A1＝60° C1＝75° c1＝ A2＝120° C2＝15° c2＝ 变式训练1：(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设a、b、c成等比数列，且，那么 〔 〕 A． B． C． D． 解：B 提示：利用余弦定理 〔2〕在△ABC中，由条件解三角形，其中有两解的是 〔 〕 A. B. C. D. 解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，假设小角求大角，那么有两解；假设大角求小角，那么只有一解 〔3〕在△ABC中，，，那么的值为〔 〕 A B C 或 D 解：A 提示:在△ABC中，由 知角B为锐角 〔4〕假设钝角三角形三边长为、、，那么的取值范围是 ． 解： 提示：由可得 〔5〕在△ABC中，= ． 解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得 例2. 在△ABC中，假设 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解：sinA＝2sinBcosC sin(B＋C)＝2sinBcosC sin(B－C)＝0B＝C sin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2 ∠A＝90° ∴ △ABC是等腰直角三角形。 变式训练2：在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状. 解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a=，所以b〔a2－b2〕+c〔a2－c2〕=bc〔b+c〕.所以〔b+c〕a2=〔b3+c3〕+bc〔b+c〕.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形. 例3. 在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C． 解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0， 所以sinB(sinA－cosA)＝0 ∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(－B)＝0 cos＝(－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B 得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝，C＝ ∴A＝ B＝ C＝ 变式训练3：△ABC中，2〔sin2A－sin2C〕=〔a－b〕sinB，△ABC外接圆半径为. 〔1〕求∠C； 〔2〕求△ABC面积的最大值. 解：〔1〕由2〔sin2A－sin2C〕=〔a－b〕·sinB得 2〔－〕=〔a－b〕. 又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==. 又∵0°＜C＜180°，∴C=60°. 〔2〕S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin〔120°－A〕 =2sinA〔sin120°cosA－cos120°sinA〕=3sinAcosA+sin2A =sin2A－cos2A+=sin〔2A－30°〕+. ∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=. 例4. 如图，△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝()． (1)试将△AGM、△AGN的面积〔分别记为S1与S2〕表示为的函数； (2)求y＝的最大值与最小值． 解 (1) AG＝，∠ 由正弦定理得， A N C B D M G 〔 ， (2) ∵∴当 当 变式训练4：在在△ABC中，所对的边分别为，，且 〔1〕求的值； 〔2〕假设，求的最大值； 解：〔1〕因为，故 〔2〕 又，当且仅当时， 故的最大值是 小结归纳 小结归纳 1．两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意． 2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择． 3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题 根底过关 第2课时 应用性问题 1．三角形中的有关公式〔正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等〕； ２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等； ３．实际问题中有关术语、名称． 〔1〕仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角 〔2〕方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． 典型例题 例1．(1)某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于 〔 〕 〔A〕 〔B〕 〔C〕或 〔D〕3 解：C 提示：利用余弦定理 〔2〕甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，那么甲、乙两楼的高分别是 〔 〕 A B C D 解：A 〔3〕一只汽球在的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为，汽球向前飞行了后，又测得A点处的俯角为，那么山的高度为〔 〕 A B C D 解： B 〔4〕轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东方向，B向西偏北方向，假设A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的，过三小时后，A、B的距离是 ． 解：90.8 nmi (5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行， 航向为方位角，A处有灯塔， 其方位角，在C处观测灯塔A的 方位角，由B到C需航行半小时， 那么C到灯塔A的距离是 解：km 提示：由题意知 ，利用余弦定理或解直角三角形可得 变式训练1：如图，当甲船位于A处时得悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援〔角度精确到1〕？ 北 20 10 A B •C 解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=10. ∵, ∴sin∠ACB=, ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援. 例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？ 解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 假设在时刻t城市O受到台风的侵袭,那么 由余弦定理知 由于PO=300,PQ=20t 故 即 解得 答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时． 变式训练2：如以下图,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 解：由题意得，在△ABC中，BC=30，， 所以 ，由正弦定理可知： 所以， 于是A到BC所在直线的距离为 所以船继续向南航行无触礁危险。 例3. 如以下图，公园内有一块边长的等边△ABC形状的三角地， 现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两局部，D在AB上， E在AC上 〔1〕设AD，ED，求用表示的函数关系式； 〔2〕如果DE是灌溉水管，为节约本钱希望它最短，DE的位置 应该在哪里？如果DE是参观线路，那么希望它最长，DE的 位置又在哪里？请给予证明 解：〔1〕在△ABC中，D在AB上， S△ADE=S△ABC ，在△ADE中，由余弦定理得： 〔2〕令 ，那么 那么 令 ， 那么 ； 有最小值，此时DE∥BC，且 有最大值，此时DE为△ABC 的边AB或AC的中线上 变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如以下图，渠道深为，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量到达最小，应使梯形两腰及下底之和到达最小，此时下底角应该是多少？ 解：设 ，那么， 所以 设两腰与下底之和为， 那么 当且仅当 时，上式取等号，即当时，上式取等号 ，所以下角时，梯形两腰及下底之和到达最小． 例4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？ 解：设，在△AOB中，由余弦定理得： 于是，四边形OACB的面积为 S=S△AOB+ S△ABC 因为，所以当，，即时， 四边形OACB面积最大． 变式训练4：如以下图，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？ 解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，那么 那么BC=4，由得 在△AEC中，由正弦定理得： 在△ABC中，由正弦定理得： 在△ABE中，由余弦定理得： 所以船速 答：该船的速度为 km/h 解三角形章节测试题