2023年平均方法在差分方程中应用的研究.doc

黑龙江工程学院本科生毕业论文 本科学生毕业论文 平均方法在差分方程中应用的研究 系部名称： 专业班级： 信息与计算科学 学生姓名： 指导教师： 职 称： 黑 龙 江 工 程 学 院 二○一○年六月 The Graduation Thesis for Bachelor's Degree Average method in difference equation application research 摘 要 本文主要研究了平均方法在差分方程中的应用。在遍历函数的根底上，引入了遍历序列的概念。然后从两方面研究离散情况下的遍历问题，从中得到了一些遍历序列的性质，在离散情况下主要应用平均方法得到了动力系统的解的定量性质。 本文首先介绍了动力系统的背景以及开展情况，然后介绍了动力系统与差分方程之间的关系。主要从两方面研究动力系统，从实际出发，动力系统不仅有连续的情况，也有离散的情况。因此，我们首先证明了在连续情况下定理的成立，从而得知在离散的情况下定理仍然成立。接下来在初值问题中证明得到了相关结论。 动力系统理论与差分方程定量理论中所探讨的内容似无多大的区分，然而有不同的侧面。动力系统着重在抽象系统而非具体方程的定性研究，其研究方法着眼于一族轨线间的相互关系，换言之，是整体性的。这整体性有些是拓扑式的,也有些是统计式的；后者主要是遍历性。动力系统理论是经典常微分方程式理论的一种开展。 关键词：遍历序列；平均方法；定量理论；时间尺度；动力系统 ABSTRACT In this paper, the averaging method is used into dealing with the difference equation. On the base of the ergodic function, we give the definition of the ergodic sequence. The study of the ergodic sequence consists of two parts. One is the properties of the ergodic. The other is using the averaging method to deal with a quantitative aspect of a difference equation in dynamical system. At first, we introduce the background and the develop of the dynamical system. And then we get the relationship from the difference equation and the dynamical system. In fact, the study of dynamical system consists of two parts. One is continuous. The other is discrete. Therefore, we first prove theorems in the continuous case. So that, in the case of discrete theorems still hold. Then the proof obtained the related conclusion in the initial-value problem. Dynamical systems theory and differential equations in the quantitative theory of content seems of little distinction, but have different side. Dynamic system emphatically in abstract system, but the non-concrete equation's qualitative investigation, its research means focus on a race gago line between the reciprocity. In other words, it is comprehensive. This is the topological integrity of some type, and also some statistics-based; The latter is mainly an ergodicity. Dynamical systems theory is the classical theory of ordinary differential equations of a development. Keywords: ergodicity sequence; average method; metered theory; Time scale; dynamical system IV 目录 摘 要 I ABSTRACT II 第1章 绪论 1 1.1 课题背景 1 1.2动力系统的开展 2 1.3本文的主要内容及意义 3 第2章 遍历性和平均方法 4 2.1遍历性及其性质 4 2.2平均方法及其性质 8 2.3本章小结 9 第3章 遍历性在微分方程中的应用 10 3.1遍历性在微分方程中的应用 10 3.2本章小结 13 第4章 遍历序列在动力系统平均方法定量研究中的应用 14 4.1遍历序列的定义以及相关的性质 14 4.2遍历序列在系统平均方法定量研究中的应用 18 4.3本章小结 24 结 论 25 参考文献 26 致 谢 27 附　　录 28 第1章 绪论 1.1 课题背景 自十八世纪以来，科学家们就在试图将牛顿的重力理论与对行星和卫星运动轨迹的观察联系起来。这时，扰动方法在微分方程中的应用变得极为重要。在研究微分方程解的过程中，人们逐渐发现了一种新的方法：平均方法。这种方法早在Lagrange和Laplace将其应用到天体力学当中就已经出现了。到了上世纪三十年代，Krylov N和Bogoliubov N N发表了“Theapplications of methods of nonlinear mechanics to the theory of stationary oscillations[J]〞，这标志着平均方法开始被广泛的应用，并且方法本身也成为了重要的研究领域。在过去的七十多年中，对平均方法的研究取得了巨大的成就。人们利用这种方法解决了动力系统中的许多的问题。随着这种方法在更多领域中的应用，人们对它的认识也在逐渐的加深。随后，以Brad Lehman为代表的一些人将这种方法逐步健全，并在工程中加以全面的应用。平均方法已经成为了解决微分方程的重要手段之一。利用平均方法，主要是利用平均的思想，可以得出自治系统与非自治系统解之间的关系，利用这种关系，可以简化微分方程，并到达降低解题难度的目的。随着微分方程的开展，及对平均方法的应用逐步熟悉，Brad Lehman 将这种方法应用到了解决延迟微分方程中。使得这一理论到达了一个新的高度。因此，无论对于纯粹的数学理论，还是对于动力系统，平均方法都起着重要的作用。2023年，由张传义教授编著的“Almost Periodic Type Functions andErgodicity〞一书中，在最后一章将平均方法应用到遍历理论中。这是将平均方法作了进一步的改良和加强。这篇文章中指出：平均理论已经是应用数学的经典组成局部。由于适应性识别，适应性控制及开环路震荡控制的开展，平均理论已经在控制工程中有了新的开展。对具有形式的泛函微分方程的平均理论的研究成为新的热点。这类方程已经在振动控制中得到了应用。近来，离散系统的平均理论在适应性识别中的应用得到了开展。同时，在这本书中，利用平均方法处理了遍历理论的定量和定性两个方面的问题。最后，还应用平均方法讨论了泛函微分方程及其离散情况。 1.2动力系统的开展 动力系统的研究，19世纪末期即已开端，早在1881年起的假设干年里,庞加莱开始了常微分方程定性理论的研究，讨论的课题〔如稳定性、周期轨道的存在及回归性等〕以及所用研究方法的着眼点，即为后来所说的动力系统这一数学分支的创始。G.D.伯克霍夫从1912年起的假设干年里，以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究，包括他得出的遍历性定理。在他们关心的天体力学或哈密顿系统的领域中，多年后出现了以太阳系稳定性为背景的柯尔莫哥洛夫-阿诺尔德-莫泽扭转定理。从1931年起的假设干年时间里，以Α.Α.马尔可夫总结伯克霍夫理论、正式提出动力系统的抽象概念为开端,苏联学者进一步推动了动力系统理论的开展。 以S.斯梅尔为首的数学家们在微分动力系统研究方面作出了重要奉献，其影响历久不衰。比方具有双曲构造的紧致不变子集到现在仍然是许多具体课题的根苗。既然高维情况下稠密性定理不再成立，这就介入了具有异常复杂性的分岔问题，但这也许更符合自然界中出现的一些“混沌〞现象。近年来人们关心的洛伦茨奇异吸引子及费根鲍姆现象很有启发性，目前这方面的研究已渗入到物理、化学、生物等许多科学领域中。 　自然界中常出现一些随时间而演变的体系，如行星系、流体运动、物种绵续等等，这样的一些体系，如果都有数学模型的话，那么它们的一个共同的最根本的数学模型是：有一个由所有可能发生的各种状态构成的集合并有与时间有关的动态规律。这样,一个状态随时间变动而成为状态。如果是欧几里得空间或一般地是一个拓扑空间,时间占满区域，动态规律还满足其他简单且自然的条件〔见拓扑动力系统〕，那么得一动力系统。这时，过每一点有一条轨线，即集合。如果是一欧氏空间，或较广地是一光滑流形，且动力系统在每一处对可微，那么称这系统为常微分方程组或常微系统所产生。其逆，假设是紧致光滑流形,其上先给有一常微系统那么据根本的常微分方程理论，恒产生一动力系统。这里是的，即对连续地可微。 如上所述，动力系统理论与常微分方程定性理论中所探讨的内容似无多大的区分，然而有不同的侧面，动力系统着重在抽象系统而非具体方程的定性研究，其研究方法着眼于一族轨线间的相互关系，换言之，是整体性的。这整体性有些是拓扑式的，也有些是统计式的，后者主要是遍历性。动力系统理论是经典常微分方程式论的一种开展。 1.3本文的主要内容及意义 随着人们对遍历性的逐步深入研究，以及它在微分方程中的重要应用，使得这一理论需要更加的完备。在许多工程方面的研究，人们关注的不仅是微分方程的解的存在性，形式，性质等，还有差分方程的解具有什么性质。本文主要研究了其中的一个方面：平均方法在定量理论中的应用。首先介绍了平均方法的开展情况。其中包括，平均方法在有限延迟非线性时间扰动控制系统中的应用；平均方法在动力电子系统中的应用；平均方法在延迟时间系统的扰动反响控制中的应用；平均动力结构——自相关函数；平均方法的其他形式。在第三章中，介绍了相关的根底知识。例如：遍历函数及其性质，遍历函数中的定量理论。至此，本文给出了关于平均理论和遍历理论的相关预备知识