2023年度安徽六校教育研究会高二数学联考（理科）高中数学.docx

2023年度安徽六校教育研究会高二年级联考 数学〔理科〕 本试卷分第I卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。第I卷第1至第2页，第二卷第3至第4页。全卷总分值150分，考试时间120分钟。 考生本卷须知： 1．答题前，务必在试题卷、答题卷规定的地方填写自己的班级、考号、姓名，并认真核对与本人班级、考号、姓名是否一致。 2．答第I卷时，每题选出答案后，将所选答案填写在答题卷上对应题目的答案栏内。如需改动，用橡皮擦干净后，再进行填写。 3．答第二卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写。在试题卷上作答无效。 4．考试结束，监考员将试题卷和答题卷一并收回。 第I卷〔选择题 共50分〕 一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项符合题目要求的。 1．设为全集，非空集合、满足，那么以下集合为空集的是 A． B． C． D． 2．假设复数是虚数单位〕是纯虚数，那么复数的共轭复数是 A． B． C． D． 3．如右图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯 视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 A． B． C． D． 4．，且〕，且， 那么在同一坐标系内的大致图象是 5．数列中，，利用如以下图的程序框图计算该数列 的第10项，那么判断框中应填的语句是 A． B． C． D． 6．函数的最小正周期为，那么该函数图象 A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 7．圆关于直线对称 那么 的最小值是 A．4 B．6 C．8 D．9 8．为落实素质教育，某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题工程，假设重点研究性课题A和一般研究性课题中至少有一个被选中的不同选法种数是，那么二项式的展开式中的系数为 A．50000 B．54000 C．56000 D．59000 9．给出以下四个命题：①命题“，都有〞的否认是“，使〞②命题“设向量，假设，那么〞的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2；③集合，，那么是的充分不必要条件；④平面、，直线，那么是的必要不充分条件。 其中正确命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 10．实数、满足不等式组，那么的取值范围是 A． B． C． D． 2023年度安徽六校教育研究会高二年级联考 数学〔理科〕 第二卷〔非选择题 共100分〕 考生本卷须知： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答，在试题卷上书写作答无效。 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卷的相应位置。 11．随机变量服从正态分布那么___________。 12．函数在定义域R内可导，假设，且当时， 设，，那么从大到小的顺序是___________。 13．等差数列中，有，那么在等比数列中，会有类似的结论_____________。 14．函数假设成立，那么___________。 15．抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，假设△为直角三角形，那么该双曲线的离心率是________________。 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．〔本小题总分值12分〕 ，求的值。 17．〔本小题总分值12分〕 数列中，在直线上，其中 〔I〕令求证数列是等比数列； 〔Ⅱ〕求数列的通项； 〔Ⅲ〕设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？假设存在，是求出的值；假设不存在，那么说明理由。 18．〔本小题总分值12分〕 银河科技遇到一个技术难题，隧紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自独立进行为期一月的技术攻关，同时决定在攻关期满对攻克难题的小组给予奖励，这些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为，被乙小组攻克的概率为。 〔I〕设为攻关期满时获奖小组的个数，求的分布列及； 〔Ⅱ〕设为攻关期满时获奖小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数在定义域内单调递减“为事件，求事件发生的概率。 19．〔本小题总分值12分〕 在长方体中，，过、、三点的平面截去 长方体的一个角后，得到如以下图的几何体，且这个几何体的体 积为。 〔I〕求棱的长； 〔Ⅱ〕在线段上是否存在点P，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由； 〔Ⅲ〕求平面与平面所成二面角的余弦值。 20．〔本小题总分值13分〕 如图，知线与抛物线相切于点，且与轴交于点 为坐标原点，定点的坐标为〔2，0〕 〔I〕假设动点满足，求点的轨迹的方程； 〔Ⅱ〕假设过点的直线〔斜率不等于零〕与〔I〕中的轨迹交于不同 的两点、〔在、之间〕，试求与面积之比的 取值范围。 21．〔本小题总分值14分〕 函数，设。 〔I〕求函数的单调区间； 〔Ⅱ〕是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有四个不同的交点？假设存在，求出实数的取值范围；假设不存在，请说明理由。 2023年度安徽六校教育研究会高二年级联考 数学〔理科〕参考答案 1．B 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．D 11．0.16 12．、、 13． 14．或 15． 16．解： 又 (12分) 17．解：〔I〕 是以2为公比1为首项的等比数列〔4分〕 〔Ⅱ〕由〔I〕得〔6分〕 〔Ⅲ〕 〔9分〕 又数列是等差数列的充要条件是、是常数〕 当且仅当时，数列为等差数列〔12分〕 18．解：记“甲攻关小组获将〞为事件，A，那么 记“乙攻关小组获奖〞为事件，那么 〔I〕由题意，的所有可能取值为0，1，2， 所以的分布列为 0 1 2 〔6分〕 〔Ⅱ〕因为获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，相应没有获奖的攻关小组数的取值为2，1，0，所以的可能取值为0，4。 当时，在定义域内是增函数。 当时，在定义域内是减函数。 所以〔12分〕 19．解：〔I〕设，因为几何体的体积为 所以， 即 即，解得 所以的长为4.〔4分〕 〔Ⅱ〕在线段上存在点使直线与垂直。 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立如图的 空间直角坐标系 由条件与〔I〕可知，， 假设在线段上存在点使直线 与垂直。 那么过点作交于点 由题易证得 所以，所以，所以。 因为，所以，即，所以 此时点的坐标为，且在线段上 因为，所以 所以在线段上存在点，使直线与垂直，且线段的长为〔8分〕 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知所以 设平面的一个法向量为， 那么，解得 所以 因为平面的一个法向量为，且平面与平面所成的二面角是一个锐角、所以〔12分〕 20．解：〔I〕由得直线的斜率为， 故的方程为，点坐标为〔3分〕 设，那么 由得 整理，得〔6分〕 〔Ⅱ〕如图，由题意知直线的斜率存在且不为零，设方程为① 将①代入，整理，得 由得 设 那么②〔9分〕 令，那么，由此可得且 由②知 ，即 解得 又 与面积之比的取值范围是 21．解：〔I〕 〔2分〕 因为，由，所以在上单调递增。 由，所以在上单调递减。 所以的单调递减区间为，单调递增区间为〔6分〕 〔Ⅱ〕假设的图像与的图像恰有四个不同的交点。 即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。 令 那么 当变化时，、的变化情况如下表： 的符号 + + 的单调性 由表格知； 画出草图和验证可知 所以当时，与恰有四个不同的交点。 即当时，的图像与的图像恰有四个不同的交点。〔14分〕