2023年度上海市北郊高级第一学期高三摸底考试试卷高中数学.docx

2023学年度北郊高级中学第一学期高三数学 摸底考试试卷 班级姓名学号 一、填空题： 1．全集，集合，，那么集合等于。 2．函数的定义域为 。 3．假设直线经过抛物线的焦点，那么实数____ 。 4．在中，假设，那么　　 　 。 5．等差数列满足，，那么它的前10项的和。6．向量与都是单位向量，它们的夹角为120°，且，那么实数的值是 。 7．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植。不同的种植方法共有种。 8．函数〔〕的反函数是。 9．过抛物线的焦点F作垂直于轴的直线，交抛物线于A、B两点，那么以F为圆心AB为直径的圆方程是________________。 10．不等式的解集为 。 11．假设数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，那么 的值是。 12．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律，第n行〔〕从左向右的第3个数为 。 二、选择题： 13．函数的图像关于〔 〕 〔A〕轴对称〔B〕直线对称 〔C〕坐标原点对称 〔D〕直线对称 14．都是实数，那么“〞是“〞的 〔 〕 〔A〕充分而不必要条件 〔B〕必要而不充分条件 〔C〕充分必要条件 〔D〕既不充分也不必要条件 15．下面给出四个命题： ①直线与平面内两直线都垂直，那么。②经过直线有且仅有一个平面垂直于直线③过平面外两点，有且只有一个平面与垂直。④直线同时垂直于平面、，那么∥。其中正确的命题个数为 〔 〕 〔A〕3 〔B〕2 〔C〕1 〔D〕0 16．设奇函数在上为增函数，且，那么不等式的解集为 〔 〕 (A) (B) (C) (D) 三、解答题： 17．函数。 〔Ⅰ〕求f(x)的最小正周期；〔Ⅱ〕求f(x)的最大值、最小值。 18．数列是等差数列，且，。 〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕令，求数列前n项和的公式。 19．当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。 20．如图，正四棱柱中，，点在上且． 〔Ⅰ〕证明：平面； A B C D E A1 B1 C1 D1 〔Ⅱ〕〔理〕求二面角的大小。 〔文〕异面直线与所成的角。 21．直线与抛物线交于A.B两点, 线段AB的垂直平分线与直线交于Q点。 (1) 求点Q的坐标； (2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A.B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值。 22．在直角坐标平面中，点，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，．．．，为关于点的对称点。 〔1〕求向量的坐标； 〔2〕当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，。求以曲线C为图象的函数在上的解析式。 参考答案： 1． 2. 3. 4. 5. 95 6. 7. 18 8. 〔〕 9. 10. 11. 2 12. 13. C 14.D 15. C 16. D 17. (2)当时,; 当时,。 18．。 19．〔-∞，4] 20．解法一： 依题设知，． 〔Ⅰ〕连结交于点，那么． A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 由三垂线定理知，． 在平面内，连结交于点， 由于， 故，， 与互余． 于是． 与平面内两条相交直线都垂直， 所以平面． 〔Ⅱ〕作，垂足为，连结．由三垂线定理知， 故是二面角的平面角。 ， ，． ，． 又，． ． A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 所以二面角的大小为． 解法二： 以为坐标原点，射线为轴的正半轴， 建立如以下图直角坐标系． 依题设，． ， ． 〔Ⅰ〕因为，， 故，． 又， 所以平面． 〔Ⅱ〕设向量是平面的法向量，那么 ，． 故，． 令，那么，，． 等于二面角的平面角， ． 所以二面角的大小为． 21．(1) 解方程组得或 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由,直线AB的垂直平分线方程y－1=-2 (x－2).令y=－5, 得x=5, 所以Q(5,－5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4). 因为点P到直线OQ的距离d==, ,所以SΔOPQ==。 因为P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 所以－4≤x<4－4或4－4<x≤8. 因为函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,所以当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30。 22．〔1〕；〔2〕当时，。