2023年高考（安徽卷WORD版）数学理科试题及标准答案高中数学.docx

2023年普通高等学校招生全国统一考试〔安徽卷〕数学〔理科〕 本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部，第I卷1至2页。第II卷3 至4页。全卷总分值150分，考试时间120分钟。 考生本卷须知： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名，座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡反面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2.答第I卷时、每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。 3.答第II卷时，必须用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用0.5毫米的黑色墨色签字笔清楚。必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式： S表示底面积，h表示底面的高 如果事件A、B互斥，那么 棱柱体积 P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积 第I卷(选择题 共50分) 一.选择题：本大题10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。 〔1〕i是虚数单位，假设，那么乘积的值是〔B〕 〔A〕-15 〔B〕-3 〔C〕3 〔D〕15 〔2〕假设集合那么A∩B是〔D〕 〔A〕 (B) (C) (D) 〔3〕以下曲线中离心率为的是〔B〕 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 (4)以下选项中，p是q的必要不充分条件的是〔A〕 〔A〕p:＞b+d , q:＞b且c＞d 〔B〕p:a＞1,b>1 q:的图像不过第二象限 〔C〕p: x=1, q: 〔D〕p:a＞1, q: 在上为增函数 〔5〕为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，那么使得到达最大值的是〔B〕 〔A〕21 〔B〕20 〔C〕19 〔D〕 18 〔6〕设＜b,函数的图像可能是〔C〕 〔7〕假设不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两局部，那么的值是〔A〕 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 〔8〕函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，那么的单调区间是〔C〕 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 〔9〕函数在R上满足，那么曲线在点处的切线方程是〔A〕 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 〔10〕考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，那么所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于〔D〕 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 二．填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。 (11〕假设随机变量～，那么=________. 解答： (12)以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。直线的极坐标方程为，它与曲线〔为参数〕相交于两点A和B，那么|AB|=_______. 解答： (13) 程序框图〔即算法流程图〕如以下图，其输出结果是_______. 解答：127 〔14〕给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如以下图，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.假设其中,那么的最大值是=________. 解答：2 〔15〕对于四面体ABCD，以下命题正确的选项是_________ 〔写出所有正确命题的编号〕。 相对棱AB与CD所在的直线是异面直线； 由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点； 假设分别作ABC和ABD的边AB上的高，那么这两条高所在直线异面； 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点; 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。 解答： 三．解答题;本大题共6小题，共75分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答 〔16〕〔本小题总分值12分〕在ABC中，C-A=, sinB=。 〔I〕求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积。 〔16〕本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题总分值12分 解：〔I〕由知。 又所以即 故 (II)由〔I〕得： 又由正弦定理，得： 所以 〔17〕〔本小题总分值12分〕 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区。B肯定是受A感染的。对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是。同样也假定D受A、B和C感染的概率都是。在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值〔即数学期望〕. 〔17〕本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。表达数学的科学价值。本小题总分值12分。 X 1 2 3 P 解：随机变量X的分布列是 X的均值。 附：X的分布列的一种求法 共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ A—B—C—D A—B—C └D A—B—C └D A—B—D └C A—C—D └B 在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。 〔18〕〔本小题总分值13分〕 如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2， BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2。 〔I〕求二面角B-AF-D的大小； 〔II〕求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共局部的体积。 (18) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题总分值13分。 解：〔I〕(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足。连接BG、DG。 由BD⊥AC,BD⊥CF,得：BD⊥平面ACF，故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角。 由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=,OG=. 由OB⊥OG,OB=OD=,得∠BGD=2∠BGO=. (向量法)以A为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是 设平面ABF的法向量，那么由得。 令得， 同理，可求得平面ADF的法向量。 由知，平面ABF与平面ADF垂直， 二面角B-AF-D的大小等于。 〔II〕连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，那么四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共局部为四棱锥H-ABCD。 过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。 因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而 由得。 又因为 故四棱锥H-ABCD的体积 〔19〕〔本小题总分值12分〕 函数，a＞0，讨论的单调性. (19)本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题总分值12分。 解：的定义域是(0,+), 设,二次方程的判别式. ① 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。 ② 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 ③ 当，即时， 方程有两个不同的实根,,. + 0 _ 0 + 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增. 〔20〕〔本小题总分值13分〕 点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为. 〔I〕证明: 点是椭圆与直线的唯一交点； 〔II〕证明:构成等比数列。 〔20〕本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等根底知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题总分值13分。 解：〔I〕〔方法一〕由得代入椭圆, 得. 将代入上式,得从而 因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P. (方法二)显然P是椭圆与的交点，假设Q是椭圆与的交点，代入的方程，得 即故P与Q重合。 〔方法三〕在第一象限内，由可得 椭圆在点P处的切线斜率 切线方程为即。 因此，就是椭圆在点P处的切线。 根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。 〔II〕的斜率为的斜率为 由此得构成等比数列。 〔21〕〔本小题总分值13分〕 首项为正数的数列满足 〔I〕证明：假设为奇数，那么对一切都是奇数； 〔II〕假设对一切都有，求的取值范围。 〔21〕本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题总分值13分。 解：〔I〕是奇数，假设是奇数，其中为正整数， 那么由递推关系得是奇数。 根据数学归纳法，对任何，都是奇数。 〔II〕〔方法一〕由知，当且仅当或。 另一方面，假设那么；假设，那么 根据数学归纳法， 综合所述，对一切都有的充要条件是或。 〔方法二〕由得于是或。 因为所以所有的均大于0，因此与同号。 根据数学归纳法，，与同号。 因此，对一切都有的充要条件是或。