2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版7.docx

1987年全国高中数学联赛试题 一试题(10月11日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．此题总分值20分)： 1．对任意给定的自然数n，假设n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，那么( ) A．这样的a有无穷多个 B．这样的a存在，但只有有限个 C．这样的a不存在 D．以上A、B、C的结论都不正确(上海供题) 2．边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，那么这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A．10 B．14 C．5 D．12(天津供题) 3．在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，假设a为无理数，那么过(a，0)的所有直线中( ) A．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有n(2≤n<+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少通过两个有理点 D．每条直线至多通过一个有理点(河南供题) 4．如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A、C在圆周上，∠ABC=2α (0<α<)，现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心使B落到圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上．如此旋转直到100次．那么A点所走过的路程的总长度为( ) A．22π(1+sinα)－66α B．π C．22π+πsinα－66α D．33π－66α(北京供题) 二．填空题(每题填写结果完全正确者得8分，填写错误或多填、少填者均得0分，此题总分值40分)： 1．集合 M={x，xy，lg(xy)} 及 N={0，|x|，y}， 并且M=N，那么 (x+)+(x2+)+(x3+)+…+(x2022+)的值等于 ．(陕西供题) 2．集合 A={(x，y)| |x|+|y|=α，α>0} B={(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|} 假设A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，那么α的值为 ．(青海供题) 3．假设k是大于1的整数，α是x2－kx+1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n，α+α的个位数字总是7，那么k的个位数字是 ．(河北供题) 4．现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，的三角形四个，边长为，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体．(江西供题) 5．五对孪生兄妹参加k个组活动，假设规定：⑴ 孪生兄妹不在同一组；⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，⑶有一人只参加两个组的活动，那么k的最小值为 ．(命题组供题) 1987年全国高中数学联赛二试题 一．如图，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转，试证：不管△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使△BMD为等腰直角三角形． 二．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点．试证：存在一个同心圆的集合，使得 ⑴每个整点都在此集合的某个圆周上； ⑵此集合的每个圆周上，有且只有一个整点．(辛泽尔定理) 三．n(n>3)名乒乓球选手单打假设干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同． 1987年全国高中数学联赛解答 一试题 一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．此题总分值20分)： 1．对任意给定的自然数n，假设n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，那么( ) A．这样的a有无穷多个 B．这样的a存在，但只有有限个 C．这样的a不存在 D．以上A、B、C的结论都不正确(上海供题) 解：(n2+3k)3=n6+9n4k+27n2k2+27k3=n6+3(3n4+9n2k+9k2)k．取a=(3n4+9n2k+9k2)k，(k为任意正整数)，那么n6+3a为正整数的立方，由于k可任意取值，且当k增大时，a也随之增大．即a有无数个．选A． 2．边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，那么这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A．10 B．14 C．5 D．12(天津供题) 解：设x≥3，y≤3，且x2+y2=25．满足要求的点构成直角坐标系中一段弧(图中粗线局部)．令x+y=k，那么当直线经过点(4，3)时取得最大值7．即2x+2y≤14．选B． 3．在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，假设a为无理数，那么过(a，0)的所有直线中( ) A．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有n(2≤n<+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少通过两个有理点 D．每条直线至多通过一个有理点(河南供题) 解：假设直线斜率为k，那么当k=0时直线经过x轴上所有有理点． 当k≠0时，直线方程为y=k(x－a)． 假设k为有理数，那么当x为有理数时，y为无理数； 假设k为无理数，假设此时直线经过一个有理点A(x1，y1)，对于直线上与A不重合的点B(x2，y2)．由y1=k(x1－a)，y2=k(x2－a)，由于a为无理数，故y1≠0，x2－a≠0，==m，当y2为有理数时，m为有理数，当y2≠y1时，m≠1，此时x2=mx1+(1－m)a为无理数．即此直线上至多有一个有理点．选C． 4．如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A、C在圆周上，∠ABC=2α(0<α< )现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心使B落到圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上．如此旋转直到100次．那么A点所走过的路程的总长度为( ) A．22π(1+sinα)－66α B．π C．22π+ πsinα－66α D．33π－66α(北京供题) 解：点A每k(k≡1(mod 3))不动，第k(k≡2(mod 3))次走过路程π－2α，第k(k≡0(mod 3))走过路程(2sinα)，于是所求路程=33(π－2α+ πsinα)．选A． 二．填空题(每题填写结果完全正确者得8分，填写错误或多填、少填者均得0分，此题总分值40分)： 1．集合 M={x，xy，lg(xy)} 及 N={0，|x|，y}， 并且M=N，那么 (x+)+(x2+)+(x3+)+…+(x2022+)的值等于 ．(陕西供题) 解 0∈M，但xy¹0，故只有lg(xy)=0，，xy=1． ∴ 1∈N，故|x|=1，或y=1，假设y=1，那么由xy=1得，x=1，与元素相异性矛盾．故y¹1． ∴ |x|=1，x=1或x=－1，其中x=1同上矛盾．故x=－1．y=－1． ∴ x2k+ = 2；x2k+1+ =－2(k∈Nx)．故所求值=－2． 解：xy≠0，Þx≠0，y≠0．故xy=1．假设y=1，那么x=1，矛盾，故x=－1，y=－1．原式=－2． 2．集合 A={(x，y)| |x|+|y|=α，α>0} B={(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|} 假设A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，那么α的值为 ．(青海供题) 解：集合A的图形是依次连(α，0)，(0，α)，(－α，0)，(0，－α)四点的线段． 集合B的图形是直线x=1，x=－1，y=1，y=－1．它们交得一个正八边形． 假设此4条直线为图中的4条实线，那么α=tan°+1= ．或此正八边形各边与原点距离相等，知直线x+y=α与原点距离=1．α= ． 假设此4条直线为图中的4条虚线，那么α=2+2，Þα=2+． ∴ α=2或2+ ． 3．假设k是大于1的整数，α是x2－kx+1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n，α+α的个位数字总是7，那么k的个位数字是 ．(河北供题) 解：另一根=α－1，α+α－1=k，记α+α≡kn(mod 10)，0≤kn<10． 由α+α=(α+α)2－2得，kn≡kn－12+8(mod 10)．假设k为偶数，那么kn为偶数，不等于7． 假设kn－1≡±1(mod 10)，那么kn≡9，Þkn+1≡9(mod 10)； 假设kn－1≡±3(mod 10)，那么kn≡7，Þkn+1≡7(mod 10)； 假设kn－1≡5(mod 10)，那么kn≡9，Þkn+1≡9(mod 10)； 故k的个位数字为3，5，7． 4．现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，的三角形四个，边长为，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体．(江西供题) 解：用四个三角形拼成四面体，每种边长至少要在两个三角形中出现．因此以上三种三角形如果要用，就用偶数个．由于第①类边长为3，4，5的三角形与第②类边长为4，5，的三角形都是直角三角形，而第③类边长为，4，5的三角形为钝角三角形．因此，用4个后两种三角形都不能单独拼成四面体(四个面全等的四面体是等腰四面体，其各面都是锐角三角形)． 情况⑴：4个三角形中有两个②类三角形，如图，取两个②类三角形，BC=，那么斜边BC上的高AE=DF=h=．且BE=CF=x=，那么EF=－2×=． 于是AD2=AE2+EF2+FD2－2AE·DFcosθ=(881－810cosθ) ∈(，41)． (x) 假设再取两个①类三角形时，由于AD=3，满足(x)式，故可以构成四面体． 假设再取两个③类三角形时，由于AD=，不满足(x)式，故不可以构成四面体． 情况⑵：两个①类，两个③类．此时取BC=5，AB=CD=3，于是斜边BC上的高AE=DF=h=．且BE=CF=x=，那么EF=5－2×=． 于是AD2=AE2+EF2+FD2－2AE·DFcosθ= (337－288cosθ)∈(，25)． 由于AD=，不满足(x)式，故不可以构成四面体． ∴ 只能构成1个四面体． 5．五对孪生兄妹参加k个组活动，假设规定：⑴ 孪生兄妹不在同一组；⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，⑶有一人只参加两个组的活动，那么k的最小值为 ．(命题组供题) 解：设此10人为A，a；B，b；C，c；D，d；E，e． A只参加2组，故除a外其余8人应分成2组，每组人数都不超过4人（否那么有孪生兄妹同组)．记第一组为{B，C，D，E}，第二组为{b，c，d，e}．于是其余8人中大写字母不再同组，小写字母也不再同组．即除a外其余组中人数不超过2人．每人都再参加3组，故至少还要3×4=12组．a可参加其中4组．即至少要14组．又{a，B，c}，{