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上海市
嘉定
一中
2023
学年
高考
全国
统考
预测
数学试卷
解析
2023学年高考数学模拟测试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若,,则的面积为( )
A. B. C. D.
2.已知集合,则全集则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图所示,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知奇函数是上的减函数,若满足不等式组,则的最小值为( )
A.-4 B.-2 C.0 D.4
5.已知,其中是虚数单位,则对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.设复数满足,在复平面内对应的点的坐标为则( )
A. B.
C. D.
7.函数的图象如图所示,为了得到的图象,可将的图象( )
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
8.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,判断“与有关系”的把握越大;其中真命题的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
10.函数的最小正周期是,则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
11.在中,在边上满足,为的中点,则( ).
A. B. C. D.
12.已知函数满足,当时,,则( )
A.或 B.或
C.或 D.或
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则该二项展开式中的常数项等于_____.
14.若展开式中的常数项为240,则实数的值为________.
15.已知函数,若,则的取值范围是__
16.已知复数z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中i是虚数单位,a∈R),若z1•z2是纯虚数,则a的值为_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知等差数列的前n项和为,且,.
求数列的通项公式;
求数列的前n项和.
18.(12分)设点,动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线交于、两点,且直线与轴交于点,设,,求证:为定值.
19.(12分)已知,函数,(是自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论函数极值点的个数;
(Ⅱ)若,且命题“,”是假命题,求实数的取值范围.
20.(12分)已知函数,它的导函数为.
(1)当时,求的零点;
(2)当时,证明:.
21.(12分)已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若的图象与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.
22.(10分)在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为:,曲线的参数方程为其中,为参数,为常数.
(1)写出与的直角坐标方程;
(2)在什么范围内取值时,与有交点.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【答案解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.
【题目详解】
由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.
由得,则.
又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.
故选:A
【答案点睛】
本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.
2、D
【答案解析】
化简集合,根据对数函数的性质,化简集合,按照集合交集、并集、补集定义,逐项判断,即可求出结论.
【题目详解】
由,
则,故,
由知,,因此,
,,
,
故选:D
【答案点睛】
本题考查集合运算以及集合间的关系,求解不等式是解题的关键,属于基础题.
3、B
【答案解析】
根据三视图可以得到原几何体为三棱锥,且是有三条棱互相垂直的三棱锥,根据几何体的各面面积可得最大面的面积.
【题目详解】
解:分析题意可知,如下图所示,
该几何体为一个正方体中的三棱锥,
最大面的表面边长为的等边三角形,
故其面积为,
故选B.
【答案点睛】
本题考查了几何体的三视图问题,解题的关键是要能由三视图解析出原几何体,从而解决问题.
4、B
【答案解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【题目详解】
奇函数是上的减函数,则,且,画出可行域和目标函数,
,即,表示直线与轴截距的相反数,
根据平移得到:当直线过点,即时,有最小值为.
故选:.
【答案点睛】
本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.
5、C
【答案解析】
利用复数相等的条件求得,,则答案可求.
【题目详解】
由,得,.
对应的点的坐标为,,.
故选:.
【答案点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数相等的条件,是基础题.
6、B
【答案解析】
根据共轭复数定义及复数模的求法,代入化简即可求解.
【题目详解】
在复平面内对应的点的坐标为,则,
,
∵,
代入可得,
解得.
故选:B.
【答案点睛】
本题考查复数对应点坐标的几何意义,复数模的求法及共轭复数的概念,属于基础题.
7、C
【答案解析】
根据正弦型函数的图象得到,结合图像变换知识得到答案.
【题目详解】
由图象知:,∴.
又时函数值最大,
所以.又,
∴,从而,,
只需将的图象向左平移个单位即可得到的图象,
故选C.
【答案点睛】
已知函数的图象求解析式
(1).(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求,一般用最高点或最低点求.
8、B
【答案解析】
令,则,由图象分析可知在上有两个不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解决.
【题目详解】
令,则,如图
与顶多只有3个不同交点,要使关于的方程有
六个不相等的实数根,则有两个不同的根,
设由根的分布可知,
,解得.
故选:B.
【答案点睛】
本题考查复合方程根的个数问题,涉及到一元二次方程根的分布,考查学生转化与化归和数形结合的思想,是一道中档题.
9、C
【答案解析】
根据抽样方式的特征,可判断①;根据相关系数的性质,可判断②;根据独立性检验的方法和步骤,可判断③.
【题目详解】
①根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为假命题;
②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0;故②为真命题;
③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,“与有关系”的把握程度越小,故③为假命题.
故选:.
【答案点睛】
本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点,属于基础题.
10、D
【答案解析】
由三角函数的周期可得,由函数图像的变换可得, 平移后得到函数解析式为,再求其对称轴方程即可.
【题目详解】
解:函数的最小正周期是,则函数,经过平移后得到函数解析式为,由,
得,当时,.
故选D.
【答案点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换,属基础题.
11、B
【答案解析】
由,可得,,再将代入即可.
【题目详解】
因为,所以,故
.
故选:B.
【答案点睛】
本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用,是一道基础题.
12、C
【答案解析】
简单判断可知函数关于对称,然后根据函数的单调性,并计算,结合对称性,可得结果.
【题目详解】
由,
可知函数关于对称
当时,,
可知在单调递增
则
又函数关于对称,所以
且在单调递减,
所以或,故或
所以或
故选:C
【答案点睛】
本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式,抽象函数给出式子的意义,比如:,,考验分析能力,属中档题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、1
【答案解析】
由题意可得,再利用二项展开式的通项公式,求得二项展开式常数项的值.
【题目详解】
的二项展开式的中,只有第5项的二项式系数最大,,
通项公式为,令,求得,
可得二项展开式常数项等于,
故答案为1.
【答案点睛】
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
14、-3
【答案解析】
依题意可得二项式展开式的常数项为即可得到方程,解得即可;
【题目详解】
解:∵二项式的展开式中的常数项为,
∴解得.
故答案为:
【答案点睛】
本题考查二项式展开式中常数项的计算,属于基础题.
15、
【答案解析】
根据分段函数的性质,即可求出的取值范围.
【题目详解】
当时, ,
,
当时,,
所以,
故的取值范围是.
故答案为:.
【答案点睛】
本题考查分段函数的性质,已知分段函数解析式求参数范围,还涉及对数和指数的运算,属于基础题.
16、-1
【答案解析】
由题意,令即可得解.
【题目详解】
∵z1=1﹣2i,z2=a+2i,
∴,
又z1•z2是纯虚数,∴,解得:a=﹣1.
故答案为:﹣1.
【答案点睛】
本题考查了复数的概念和运算,属于基础题.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1);(2).
【答案解析】
先设出数列的公差为d,结合题中条件,求出首项和公差,即可得出结果.
利用裂项相消法求出数列的和.
【题目详解】
解:设公差为d的等差数列的前n项和为,
且,.
则有:,
解得:,,
所以:
由于:,
所以:,
则:,
则:,
.
【答案点睛】
本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.
18、(1);(2)见解析.
【答案解析】
(1)已知点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,由此可得曲线的方程;
(2)设直线方程为,,则,设,由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得,,由,,用横坐标表示出,然后计算,并代入,可得结论.
【题目详解】
(1)设动圆圆心,由抛物线定义知:点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,设其方程为,则,解得.
∴曲线的方程为;
(2)证明:设直线方程为,,则,设,
由得,①,
则,,②,
由,,得
,,
整理得,,
∴,代入②得:
.
【答案点睛】
本题考查求曲线方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线相交问题中的定值问题.解题方法是设而不求的思想方法,即设交点坐标,设直线方程,直线方程代入抛物线(或圆锥曲线)方程得一元二次方程,应用韦达定理得,,代入题中其他条件所求式子中化简变形.