北京四中2023学年高考压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 2．已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为( ) A． B． C． D． 5．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．设m，n为直线，、为平面，则的一个充分条件可以是( ) A．，， B．， C．， D．， 7．数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=( ) A．132 B．299 C．68 D．99 8．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A．25 B．32 C．35 D．40 11．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数（）的部分图象如图所示.则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________． 14．已知数列的首项，函数在上有唯一零点，则数列|的前项和__________. 15．已知函数，若，则的取值范围是__ 16．已知向量，，若，则________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次 数为． （1）求的分布列及其期望； （2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少； （ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数． 18．（12分）设函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个零点，(). （i）求的取值范围； （ii）求证:随着的增大而增大. 19．（12分）已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax. （1）求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)； （2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围； （3）若∃x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求实数a的最大值． 20．（12分）已知为椭圆的左、右焦点，离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21．（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表. 图：设备改造前样本的频率分布直方图 表：设备改造后样本的频率分布表 质量指标值 频数 2 18 48 14 16 2 （1）求图中实数的值； （2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间或内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为(单位：元)，求的分布列和数学期望. 22．（10分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照，，，分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率. 从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率； 试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱瓶，批发成本元；小箱每箱瓶，批发成本元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为时看作销量为瓶）. ①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，求和的分布列和数学期望； ②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？ 注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值. 【题目详解】 连接AO，由O为BC中点可得， ， 、、三点共线， ， . 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题. 2、A 【答案解析】 由，得，代入集合B即可得. 【题目详解】 ，，，即：， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题. 3、D 【答案解析】 利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利用二次函数的性质，可得当或时，取到最小值. 【题目详解】 根据题意，可知为等差数列，公差， 由成等比数列，可得， ∴，解得. ∴. 根据单调性，可知当或时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或时同时取到最值. 4、B 【答案解析】 首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合， 那么，利用的最小正周期为，从而求得结果. 【题目详解】 的最小正周期为， 那么(∈)， 于是， 于是当时，最小值为， 故选B. 【答案点睛】 该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目. 5、D 【答案解析】 根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案． 【题目详解】 解：根据题意，函数，其导数函数， 则有在上恒成立， 则在上为增函数； 又由， 则； 故选：． 【答案点睛】 本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题． 6、B 【答案解析】 根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【题目详解】 对于A选项，当，，时，由于不在平面内，故无法得出. 对于B选项，由于，，所以.故B选项正确. 对于C选项，当，时，可能含于平面，故无法得出. 对于D选项，当，时，无法得出. 综上所述，的一个充分条件是“，” 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题. 7、B 【答案解析】 由为定值，可得，则是以3为周期的数列，求出，即求. 【题目详解】 对任意的，均有为定值， ， 故， 是以3为周期的数列， 故， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查周期数列求和，属于中档题. 8、A 【答案解析】 由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【题目详解】 由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项. 【答案点睛】 考查集合并集运算，属于简单题. 9、D 【答案解析】 结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【题目详解】 由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题. 10、C 【答案解析】 设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得． 【题目详解】 设等差数列的首项为，公差为，则 ，解得，∴，即有． 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题． 11、D 【答案解析】 设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【题目详解】 显然直线不满足条件，故可设直线：， ，，由，得， ， 解得或， ，， ， ， ， 解得， 直线的斜率的取值范围为. 故选：D. 【答案点睛】 本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 12、C 【答案解析】 由图象可知,可解得,利用三角恒等变换化简解析式可得,令,即可求得. 【题目详解】 依题意，，即, 解得；因为 所以，当时，. 故选:C. 【答案点睛】 本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由题意得出展开式中共有11项，；再令求得展开式中各项的系数和． 【题目详解】 由的展开式中只有第六项的二项式系数最大， 所以展开式中共有11项，所以； 令，可求得展开式中各项的系数和是： ． 故答案为：1． 【答案点睛】 本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题. 14、 【答案解析】 由函数为偶函数，可得唯一零点为，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等