2023届陕西省西安市高新一中、交大附中高考考前提分数学仿真卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数,则方程的实数根的个数是（ ） A． B． C． D． 2．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则( ) A． B． C． D． 4．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A． B． C． D． 5．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 7．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边，已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ） A． B． C．1 D． 8．已知等差数列的公差不为零，且，，构成新的等差数列，为的前项和，若存在使得，则（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 9．若函数在时取得最小值，则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 12．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A．12p B． C． D．10p 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，为双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上存在点满足，则的最大值为________． 14．若点在直线上，则的值等于______________ . 15．已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____. 16．若x，y均为正数，且，则的最小值为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 18．（12分）记数列的前项和为，已知成等差数列. （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）记数列的前项和为，求. 19．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是中点，且，. 求证：平面； 求点到平面的距离. 20．（12分）已知函数. （1）证明：当时，； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围. 21．（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，，． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围． 22．（10分）设，函数，其中为自然对数的底数. （1）设函数. ①若，试判断函数与的图像在区间上是否有交点； ②求证：对任意的，直线都不是的切线； （2）设函数，试判断函数是否存在极小值，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判断根的个数． 【题目详解】 画出函数 令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个 故选：D 【答案点睛】 本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题． 2、B 【答案解析】 转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解. 【题目详解】 由，可知． 设，则， 所以函数在上单调递增， 所以． 所以． 故的取值范围是． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 3、C 【答案解析】 求得点坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点坐标，进而求得 【题目详解】 抛物线焦点为，令，，解得，不妨设，则直线的方程为，由，解得，所以. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题. 4、B 【答案解析】 由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种，由古典概型的概率公式即得解. 【题目详解】 由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为： 故选：B 【答案点睛】 本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 5、C 【答案解析】 根据椭圆的定义可得，，再利用余弦定理即可得到结论. 【题目详解】 由题意，，，又，则， 由余弦定理可得. 故. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题. 6、D 【答案解析】 根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程. 【题目详解】 如图所示： 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以渐近线方程为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半. 7、D 【答案解析】 根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得，即的值，由此求得和的值，进而求得所求表达式的值. 【题目详解】 由于直角边为直径的半圆的面积之比为，所以，即，所以，所以. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 8、D 【答案解析】 利用等差数列的通项公式可得，再利用等差数列的前项和公式即可求解. 【题目详解】 由，，构成等差数列可得 即 又 解得： 又 所以时，. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题. 9、D 【答案解析】 利用辅助角公式化简的解析式，再根据正弦函数的最值，求得在函数取得最小值时的值． 【题目详解】 解：，其中，，， 故当，即时，函数取最小值， 所以， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题． 10、C 【答案解析】 将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围. 【题目详解】 依题意 ， 则， 当时，，故函数在上单调递增， 当时，； 而函数在上单调递减， 故， 则只需， 故，解得， 故实数的取值范围为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题. 11、C 【答案解析】 如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案. 【题目详解】 如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上， ，故，， 设球半径为，则，解得，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 12、C 【答案解析】 取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径 【题目详解】 如图，取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，的外接圆直径为，球O的半径R满足，所以球O的表面积S=4πR2=， 故选：C. 【答案点睛】 此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 设，由可得，整理得，即点在以为圆心，为半径的圆上．又点到双曲线的渐近线的距离为，所以当双曲线的渐近线与圆相切时，取得最大值，此时，解得． 14、 【答案解析】 根据题意可得，再由，即可得到结论. 【题目详解】 由题意，得，又，解得， 当时，则， 此时； 当时，则， 此时， 综上，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题. 15、 【答案解析】 设点为，由抛物线定义知，，求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【题目详解】 由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为， 由抛物线定义知，，解得， 不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1， 又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得， 点F到双曲线的渐近线的距离. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 16、4 【答案解析】 由基本不等式可得,则,即可解得. 【题目详解】 方法一：，当且仅当时取等. 方法二：因为，所以， 所以，当且仅当时取等. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）增区间为，减区间为；（2）. 【答案解析】 （1）将代入函数的解析式，利用导数可得出函数的单调区间； （2）求函数的导数，分类讨论的范围，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最值可判断是否恒成立，可得实数的取值范围． 【题目详解】 （1）当时，， 则， 当时，，则，此时，函数为减函数； 当时，，则，此时，函数为增函数. 所以，函数的增区间为，减区间为； （2），则， . ①当时，即当时，， 由，得，此时，函数为增函数； 由，得，此时，函数为减函数. 则，不合乎题意； ②当时，即时， . 不妨设，其中，令，则或. （i）当时，， 当时，，此时，函数为增函数； 当时，，此时，函数为减函数； 当时，，此时，函数为增函数. 此时， 而， 构造函数，，则， 所以，函数在区间上单调递增，则， 即当时，，所以，. ，符合题意； ②当时，，函数在上为增函数， ，符合题意； ③当时，同理可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时，则，解得