上海宝山同洲模范学校2023学年高考冲刺数学模拟试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知中，，则（ ） A．1 B． C． D． 3．已知复数满足：（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 4．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图： 根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A． B． C． D． 5．若为过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则△面积的最大值为（ ） A．20 B．30 C．50 D．60 6．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ） A． B．3 C． D．2 7．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A． B． C． D． 8．函数（）的图象的大致形状是（ ） A． B． C． D． 9．已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 10．已知向量，，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 11．已知集合，则元素个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知数列，，，…，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（ ） A．64 B．32 C．2 D．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若函数在和上均单调递增，则实数的取值范围为________． 14．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________. 15．已知数列的前项和为，且满足，则______ 16．已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）求函数的最大值． 18．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）写出曲线的极坐标方程； （2）点是曲线上的一点，试判断点与曲线的位置关系． 19．（12分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线. （1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？ （2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率； （3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？ 20．（12分）已知动圆恒过点，且与直线相切. （1）求圆心的轨迹的方程； （2）设是轨迹上横坐标为2的点，的平行线交轨迹于，两点，交轨迹在处的切线于点，问：是否存在实常数使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21．（12分）设函数，，其中，为正实数. （1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围； （2）设，证明：对任意，都有. 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是. （1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程； （2）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于，两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果. 【题目详解】 构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难. 2、C 【答案解析】 以为基底，将用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解. 【题目详解】 , , . 故选:C. 【答案点睛】 本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题. 3、A 【答案解析】 利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解. 【题目详解】 由，则， 所以. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题. 4、C 【答案解析】 由题可得，解得， 则，， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C． 5、D 【答案解析】 先设A点的坐标为，根据对称性可得，在表示出面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时，此时面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【题目详解】 由题意，设A点的坐标为，根据对称性可得， 则的面积为， 当最大时，的面积最大， 由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大， 又由，可得椭圆的上下顶点坐标为， 所以的面积的最大值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用. 6、D 【答案解析】 根据抛物线的定义求得，由此求得的长. 【题目详解】 过作，垂足为，设与轴的交点为.根据抛物线的定义可知.由于，所以，所以，所以，所以. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 7、D 【答案解析】 因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得， 所以二项式中奇数项的二项式系数和为． 考点：二项式系数，二项式系数和． 8、C 【答案解析】 对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象. 【题目详解】 故选C． 【答案点睛】 识图常用的方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 9、C 【答案解析】 利用复数相等的条件求得，，则答案可求． 【题目详解】 由，得，． 对应的点的坐标为，，． 故选：． 【答案点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 10、C 【答案解析】 求出，进而可求,即能求出向量夹角. 【题目详解】 解：由题意知，. 则 所以，则向量与的夹角为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算. 11、B 【答案解析】 作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【题目详解】 由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 12、A 【答案解析】 根据题意依次计算得到答案. 【题目详解】 根据题意知：，，故，，. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 化简函数，求出在上的单调递增区间，然后根据在和上均单调递增，列出不等式求解即可． 【题目详解】 由知， 当时，在和上单调递增， 在和上均单调递增， ， ， 的取值范围为：． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于m的方程组，属中档题． 14、 【答案解析】 甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,根据公式即可求得概率. 【题目详解】 甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易. 15、 【答案解析】 对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值. 【题目详解】 解：，可得时，， 时，，又， 两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得． 【答案点睛】 本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题. 16、2. 【答案解析】 由双曲线的一条渐近线为，解得．求出双曲线的右焦点，利用点到直线的距离公式求解即可． 【题目详解】 双曲线的一条渐近线为 解得： 双曲线的右焦点为 焦点到这条渐近线的距离为： 本题正确结果： 【答案点睛】 本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 【答案解析】 试题分析：由柯西不等式得 试题解析：因为 ， 所以． 等号当且仅当，即时成立． 所以的最大值为． 考点：柯西不等式求最值 18、（1）（2）点在曲线外． 【答案解析】 （1）先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程； （2）由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系. 【题目详解】 （1）由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即 （2）由题,点是曲线上的一点, 因为,所以,即, 所以点在曲线外. 【答案点睛】 本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系. 19、（1）6种；（2）；（3）. 【答案解析】 （1）从4条街中选择2条横街即可； （2）小明途中恰好经过处，共有4条路线，即，，，，分别对4条路线进行分析计算概率； （3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免. 【题目详解】 （1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条. （2）小明途中恰好经过处，共有4条路线： ①当走时，全程不等红绿灯的概率； ②当走时，全程不等红绿灯的概率； ③当走时，全程不等红绿灯的概率； ④当走