2023届辽宁省沈阳市第1高考压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设 ,则(  ) A．10 B．11 C．12 D．13 2．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( ) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 3．设全集为R，集合，，则 A． B． C． D． 4．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（ ） A． B． C． D． 5．集合的真子集的个数是（ ） A． B． C． D． 6．对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D． 7．若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）． A． B． C． D． 8．已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A． B． C． D． 9．已知复数，则的虚部是（ ） A． B． C． D．1 10．已知三棱柱( ) A． B． C． D． 11．在正方体中，点、分别为、的中点，过点作平面使平面，平面若直线平面，则的值为（ ） A． B． C． D． 12．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知半径为4的球面上有两点，，球心为O，若球面上的动点C满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为_________. 14．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，若，，则双曲线的离心率为__________. 15．抛物线的焦点坐标为______. 16．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝a+2i（其中i是虚数单位，a∈R），若z1•z2是纯虚数，则a的值为_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R． （1）令m＝2，求函数h（x）的单调区间； （2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，且满足1e（e为自然对数的底数）求x1•x2的最大值． 18．（12分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、．试判断是否为定值,并说明理由． 19．（12分）已知函数． （1）若不等式有解，求实数的取值范围； （2）函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：． 20．（12分）的内角所对的边分别是，且，. （1）求； （2）若边上的中线，求的面积. 21．（12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，对角线交于点为棱的中点，．求证： （1）平面； （2）平面平面． 22．（10分）已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值． 【题目详解】 ∵f（x）， ∴f（5）＝f[f（1）] ＝f（9）＝f[f（15）] ＝f（13）＝1． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题． 2、D 【答案解析】 利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择． 【题目详解】 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④. 故选：D 【答案点睛】 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题． 3、B 【答案解析】 分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：， 结合交集的定义可得：. 本题选择B选项. 点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4、B 【答案解析】 根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【题目详解】 令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 5、C 【答案解析】 根据含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，计算可得； 【题目详解】 解：集合含有个元素，则集合的真子集有（个）， 故选：C 【答案点睛】 考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，属于基础题． 6、C 【答案解析】 根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得；构造函数，并讨论的单调性与最值，画出函数图象，即可确定的取值范围. 【题目详解】 由得，. 令， 则， 令，解得， 所以当时，，则在内单调递增； 当时，，则在内单调递减； 所以在处取得极大值，即最大值为， 则的图象如下图所示： 由有且仅有一个不动点，可得得或， 解得或. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题. 7、C 【答案解析】 由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出的最大值． 【题目详解】 解：把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 若函数在区间，上单调递增， 在区间，上，，， 则当最大时，，求得， 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题． 8、B 【答案解析】 选B. 考点：圆心坐标 9、C 【答案解析】 化简复数，分子分母同时乘以，进而求得复数，再求出，由此得到虚部. 【题目详解】 ，，所以的虚部为. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题. 10、C 【答案解析】 因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝ 11、B 【答案解析】 作出图形，设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，推导出，由线面平行的性质定理可得出，可得出点为的中点，同理可得出点为的中点，结合中位线的性质可求得的值. 【题目详解】 如下图所示： 设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点， 四边形为正方形，、分别为、的中点，则且， 四边形为平行四边形，且， 且，且，则四边形为平行四边形， ，平面，则存在直线平面，使得， 若平面，则平面，又平面，则平面， 此时，平面为平面，直线不可能与平面平行， 所以，平面，，平面， 平面，平面平面，， ，所以，四边形为平行四边形，可得， 为的中点，同理可证为的中点，，，因此，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 12、C 【答案解析】 根据题目中的基底定义求解. 【题目详解】 因为， ， ， ， ， ， 所以能作为集合的基底， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 设所在截面圆的圆心为，中点为，连接， 易知即为二面角的平面角，可求出及，然后可判断出四面体外接球的球心在直线上，在中，，结合，可求出四面体的外接球的半径. 【题目详解】 设所在截面圆的圆心为，中点为，连接， OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，即为二面角的平面角， ， 因为，所以是等腰直角三角形，， 在中，由cos60º＝，得，由勾股定理，得：， 因为O1到A、B、C三的距离相等，所以，四面体外接球的球心在直线上， 设四面体外接球半径为， 在中，， 由勾股定理可得：，即，解得． 【答案点睛】 本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题． 14、 【答案解析】 设，由双曲线的定义得出：，由得为等腰三角形，设，根据，可求出，得出，再结合焦点三角形，利用余弦定理：求出和的关系，即可得出离心率. 【题目详解】 解：设， 由双曲线的定义得出： ， ， 由图可知：， 又， 即， 则， 为等腰三角形， ， 设， ，则， ， 即，解得：， 则， ，解得：， ，解得：， ， 在中，由余弦定理得： ， 即：， 解得： ，即. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率. 15、 【答案解析】 变换得到，计算焦点得到答案. 【题目详解】 抛物线的标准方程为，，所以焦点坐标为． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题. 16、-1 【答案解析】 由题意，令即可得解. 【题目详解】 ∵z1＝1﹣2i，z2＝a+2i， ∴， 又z1•z2是纯虚数，∴，解得：a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【答案点睛】 本题考查了复数的概念和运算，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）（2） 【答案解析】 （1）化简函数h（x），求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出 （2）函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，则f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消参数m化简整理可得ln（x1x2）＝ln•，设t，构造函数g（t）＝（）lnt，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值即可求出x1•x2的最大值． 【题目详解】 （1）令m＝2，函数h（x），∴h′（x）， 令h′（x）＝0，解得x＝e， ∴当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，当x