2023年高考数学解答题分类汇编函数高中数学.docx

2023年高考数学试题分类汇编——函数 〔2023上海文数〕22.〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值5分，第3小题总分值8分。 假设实数、、满足，那么称比接近. 〔1〕假设比3接近0，求的取值范围； 〔2〕对任意两个不相等的正数、，证明：比接近； 〔3〕函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性〔结论不要求证明〕. 解析：(1) xÎ(-2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a2b+ab2比a3+b3接近； (3) ,kÎZ， f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ． 〔2023湖南文数〕21．〔本小题总分值13分〕 函数其中a<0,且a≠-1. 〔Ⅰ〕讨论函数的单调性； 〔Ⅱ〕设函数〔e是自然数的底数〕。是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？假设存在，求a的取值范围；假设不存在，请说明理由。 〔2023浙江理数〕 (22)(此题总分值14分)是给定的实常数，设函数，， 是的一个极大值点． (Ⅰ)求的取值范围； (Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列假设存在，求所有的及相应的；假设不存在，说明理由． 解析：此题主要考查函数极值的概念、导数运算法那么、导数应用及等差数列等根底知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。 〔Ⅰ〕解：f’(x)=ex(x-a) 令 于是，假设 （1） 当x1=a 或x2=a时，那么x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。 （2） 当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1<a<x2. 即 即 所以b＜-a 所以b的取值范围是〔-∞，-a〕 此时 或 〔2〕当时，那么或 于是 此时 综上所述，存在b满足题意， 当b=-a-3时， 时， 时， 〔2023全国卷2理数〕〔22〕〔本小题总分值12分〕 设函数． 〔Ⅰ〕证明：当时，； 〔Ⅱ〕设当时，，求a的取值范围． 【命题意图】此题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】 【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握根底知识、根本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 〔2023陕西文数〕21、(本小题总分值14分) 函数f〔x〕=，g〔x〕=alnx，aR。 （1） 假设曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值〔a〕的解析式； （3） 对〔2〕中的〔a〕，证明：当a〔0，+〕时， 〔a〕1. 解 〔1〕f’(x)=,g’(x)=(x>0), 由得 =alnx， =， 解德a=,x=e2, 两条曲线交点的坐标为〔e2,e〕 切线的斜率为k=f’(e2)= , 切线的方程为y-e=(x- e2). 〔2〕由条件知 Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=, 所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在〔0，〕上递减； 当x>时，h (x)>0，h(x)在〔0，〕上递增。 所以x>是h(x)在〔0， +∞ 〕上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。 所以Φ 〔a〕=h()= 2a-aln=2 Ⅱ当a  ≤   0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在〔0，+∞〕递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ 〔a〕的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) 〔3〕由〔2〕知Φ 〔a〕=2a(1-ln2a) 那么 Φ 1〔a 〕=-2ln2a，令Φ 1〔a 〕=0 解得 a =1/2 当 0<a<1/2时，Φ 1〔a 〕>0，所以Φ 〔a 〕 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1〔a 〕<0，所以Φ〔a 〕 在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ〔a 〕在(0, +∞)处取得极大值Φ〔1/2 〕=1 因为Φ〔a 〕在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ〔1/2〕=1也是Φ〔a〕的最大值 所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ〔a〕  ≤  1 〔2023辽宁文数〕〔21〕〔本小题总分值12分〕 函数. 〔Ⅰ〕讨论函数的单调性； K^Sx5U.C# 〔Ⅱ〕设，证明：对任意，. 解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，. 当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加； 当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少； 当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0； x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在〔0, 〕单调增加，在〔，+〕单调减少. (Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在〔0，+〕单调减少. 所以等价于 ≥4x1－4x2, 即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,那么 +4 ＝. 于是≤＝≤0. 从而g(x)在〔0，+〕单调减少，故g(x1) ≤g(x2)， 即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.　　 〔2023辽宁理数〕〔21〕〔本小题总分值12分〕 函数 〔I〕讨论函数的单调性； 〔II〕设.如果对任意，，求的取值范围。 解： 〔Ⅰ〕的定义域为〔0，+∞〕. . 当时，＞0，故在〔0，+∞〕单调增加； 当时，＜0，故在〔0，+∞〕单调减少； 当-1＜＜0时，令=0，解得. 那么当时，＞0；时，＜0. 故在单调增加，在单调减少. 〔Ⅱ〕不妨假设，而＜-1，由〔Ⅰ〕知在〔0，+∞〕单调减少，从而 ， 等价于 ， ① 令，那么 ①等价于在〔0，+∞〕单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为〔-∞，-2]. ……12分 〔2023全国卷2文数〕〔21〕〔本小题总分值12分〕 函数f〔x〕=x-3ax+3x+1。 〔Ⅰ〕设a=2，求f〔x〕的单调期间； 〔Ⅱ〕设f〔x〕在区间〔2,3〕中至少有一个极值点，求a的取值范围。 【解析】此题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。 〔1〕求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。 〔2〕求出函数的导数，在〔2，3〕内有极值，即为在〔2，3〕内有一个零点，即可根据，即可求出A的取值范围。 〔2023江西理数〕19. 〔本小题总分值高☆考♂资♀源x网12分〕 设函数。 〔1〕当a=1时，求的单调区间。 〔2〕假设在上的最大值为，求a的值。 【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解：对函数求导得：，定义域为〔0，2〕 （1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。 当a=1时，令 当为增区间；当为减函数。 （2） 区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比拟得到，确定 待定量a的值。 当有最大值，那么必不为减函数，且>0，为单调递增区间。 最大值在右端点取到。。 〔2023安徽文数〕20.〔本小题总分值12分〕 设函数，，求函数的单调区间与极值。 【命题意图】此题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力。 【解题指导】〔1〕对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值. 【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点. 〔2023重庆文数〕(19) (本小题总分值12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.) 函数(其中常数a,b∈R),是奇函数. (Ⅰ)求的表达式; (Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值. 〔2023浙江文数〕〔21〕〔此题总分值15分〕函数〔a-b〕<b)。 〔I〕当a=1，b=2时，求曲线在点〔2，〕处的切线方程。 〔II〕设是的两个极值点，是的一个零点，且， 证明：存在实数，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求 〔2023重庆理数〕〔18〕〔本小题总分值13分，〔I〕小问5分，〔II〕小问8分〕 函数其中实数。 （I） 假设a=-2，求曲线在点处的切线方程； （II） 假设在x=1处取得极值，试讨论的单调性。 〔2023山东文数〕〔21〕〔本小题总分值12分〕 函数 〔I〕当时，求曲线在点处的切线方程； 〔II〕当时，讨论的单调性. 〔2023北京文数〕〔20〕〔本小题共13分〕 集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 〔Ⅰ〕当n=5时，设，求，； 〔Ⅱ〕证明：，且; (Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数 〔Ⅰ〕解：=〔1,0,1,0,1〕 =3 (Ⅱ)证明：设 因为，所以 从而 由题意知 当时， 当时， 所以 (Ⅲ)证明：设 记由〔Ⅱ〕可知 所以中1的个数为k,中1的个数为 设是使成立的的个数。那么 由此可知，三个数不可能都是奇数 即三个数中至少有一个是偶数。 〔2023北京理数〕(18)(本小题共13分) 函数()=In(1+)-+(≥0)。 (Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程； (Ⅱ)求()的单调区间。 解：〔I〕当时，， 由于，， 所以曲线在点处的切线方程为 即 〔II〕，. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是. 当时，，得，. 所以没在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是 〔2023四川理数〕〔22〕〔本小题总分值14分〕 设〔且〕，g(x)是f(x)的反函数. 〔Ⅰ〕设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围； 〔Ⅱ〕当a＝e〔e为自然对数的底数〕时，证明：； 〔Ⅲ〕当0＜a≤时，试比拟与4的大小，并说明理由. 本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等根底知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解：(1)由题意，得ax＝＞0 故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞) 由得 t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6] 那么t'=-3x2+18x-15=-3(