2023届湖州市重点中学高考数学五模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，则 （ ） A． B． C． D． 2．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．3 3．下列函数中，既是奇函数，又是上的单调函数的是( ) A． B． C． D． 4．设，则 A． B． C． D． 5．已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ） A．-5 B．2 C．7 D．11 6．要得到函数的图象，只需将函数的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 7．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 9．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（ ） A． B． C． D． 10．设是虚数单位，若复数，则（ ） A． B． C． D． 11．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）． A． B． C． D． 12．已知实数集，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图在三棱柱中，，，，点为线段上一动点，则的最小值为________. 14．曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 15．如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______． 16．已知，且，则__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，对角线交于点为棱的中点，．求证： （1）平面； （2）平面平面． 18．（12分）已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值. 19．（12分）对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷．信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷．为了解信用卡在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人） 经常使用信用卡 偶尔或不用信用卡 合计 40岁及以下 15 35 50 40岁以上 20 30 50 合计 35 65 100 （1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关？ （2）①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率； ②将频率视为概率，从市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为 （，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点． ⑴求椭圆的标准方程； ⑵若时，，求实数； ⑶试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论． 21．（12分）等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式； （2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由. 22．（10分）已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，，证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 先根据得到为的重心，从而，故可得，利用可得，故可计算的值． 【题目详解】 因为所以为的重心， 所以, 所以, 所以，因为， 所以，故选A． 【答案点睛】 对于，一般地，如果为的重心，那么，反之，如果为平面上一点，且满足，那么为的重心． 2、A 【答案解析】 分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值. 详解：由①得到，，故①无解， 所以直线与抛物线是相离的. 由， 而为到准线的距离，故为到焦点的距离， 从而的最小值为到直线的距离， 故的最小值为，故选A. 点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解. 3、C 【答案解析】 对选项逐个验证即得答案. 【题目详解】 对于，，是偶函数，故选项错误； 对于，，定义域为，在上不是单调函数，故选项错误； 对于，当时，； 当时，； 又时，. 综上，对，都有，是奇函数. 又时，是开口向上的抛物线，对称轴，在上单调递增，是奇函数，在上是单调递增函数，故选项正确； 对于，在上单调递增，在上单调递增，但，在上不是单调函数，故选项错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查函数的基本性质，属于基础题. 4、C 【答案解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 5、A 【答案解析】 根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值. 【题目详解】 由约束条件，画出可行域如图 变为为斜率为-3的一簇平行线，为在轴的截距， 最小的时候为过点的时候， 解得所以， 此时 故选A项 【答案点睛】 本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题. 6、D 【答案解析】 先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【题目详解】 因为， 所以只需将的图象向右平移个单位. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型. 7、A 【答案解析】 先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可. 【题目详解】 当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为. 在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示： 利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 8、D 【答案解析】 由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【题目详解】 如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得， ∴． 正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为， 则由得，解得， ∴． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键． 9、B 【答案解析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【题目详解】 本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以， ，，故当输入，，则计算机输出的数 是57. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 10、A 【答案解析】 结合复数的除法运算和模长公式求解即可 【题目详解】 ∵复数，∴，，则， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题 11、C 【答案解析】 从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C. 12、A 【答案解析】 可得集合,求出补集,再求出即可. 【题目详解】 由,得,即, 所以, 所以. 故选:A 【答案点睛】 本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 把 绕着进行旋转，当四点共面时，运用勾股定理即可求得的最小值. 【题目详解】 将以为轴旋转至与面在一个平面，展开图如图所示，若，，三点共线时最小为，为直角三角形， 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了空间几何体的翻折，平面内两点之间线段最短，解直角三角形进行求解，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题. 14、. 【答案解析】 先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程. 【题目详解】 因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3. 故答案为y＝－5x＋3. 【答案点睛】 (1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是 15、 【答案解析】 设，，在中利用正弦定理得出关于的函数，从而可得的最小值． 【题目详解】 解：设，，则，，∴， 在中，由正弦定理可得， 即，∴， ∴当即时，取得最小值． 故答案为． 【答案点睛】 本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题． 16、 【答案解析】 试题分析：因,故,所以，,应填. 考点：三角变换及运用． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证