2023届重庆江津长寿巴县等七校高考数学倒计时模拟卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米 2．已知实数x，y满足，则的最小值等于（ ） A． B． C． D． 3．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．函数的图象可能是下面的图象( ) A． B． C． D． 5．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ） A． B． C． D． 7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（ ） A． B．函数在上递增 C．函数的一条对称轴是 D．函数的一个对称中心是 9．如图，在正方体中，已知、、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（ ） A． B． C． D． 10．已知实数，满足，则的最大值等于( ) A．2 B． C．4 D．8 11．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（ ） A． B． C． D． 12．已知，，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知数列满足，且恒成立，则的值为____________. 14．圆心在曲线上的圆中，存在与直线相切且面积为的圆，则当取最大值时，该圆的标准方程为______. 15．在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______. 16．的展开式中的常数项为_______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知中，角所对边的长分别为，且 （1）求角的大小； （2）求的值. 18．（12分）已知函数. （1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求在上的最大值和最小值． 19．（12分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状； (2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长. 20．（12分）表示，中的最大值，如，己知函数，. （1）设，求函数在上的零点个数； （2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 21．（12分）已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且//，，，点，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 22．（10分）已知函数. （1）解不等式； （2）若函数的最小值为，求的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【题目详解】 因为弧长比较短的情况下分成6等分， 所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为63(厘米). 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题. 2、D 【答案解析】 设，，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出． 【题目详解】 因为实数，满足， 设，， ， 恒成立， ， 故则的最小值等于. 故选：． 【答案点睛】 本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 3、D 【答案解析】 先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【题目详解】 构造函数， 因为， 所以， 所以为奇函数， 当时，，所以在上单调递减， 所以在R上单调递减. 因为存在， 所以， 所以， 化简得， 所以，即 令， 因为为函数的一个零点， 所以在时有一个零点 因为当时，， 所以函数在时单调递减， 由选项知，， 又因为， 所以要使在时有一个零点， 只需使，解得， 所以a的取值范围为，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大. 4、C 【答案解析】 因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B．当时，，所以，排除D．选C． 5、B 【答案解析】 求出导函数，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围． 【题目详解】 ，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时，，时，， 因此要使函数有两个零点，则，∴． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围． 6、C 【答案解析】 根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【题目详解】 因为圆心，半径，直线与圆相交，所以 ，解得 所以相交的概率,故选C. 【答案点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题. 7、D 【答案解析】 通过变形，通过“左加右减”即可得到答案. 【题目详解】 根据题意，故只需把函数的图象 上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大. 8、D 【答案解析】 利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期，从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【题目详解】 ， 又，即， 有且仅有满足条件； 又，则， ，函数， 对于A，，故A错误； 对于B，由， 解得，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，由，故D正确. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题. 9、B 【答案解析】 连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解． 【题目详解】 如图，连接，使交于点，连接、，则为的中点， 在正方体中，且，则四边形为平行四边形， 且， 、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，因此，平面. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题． 10、D 【答案解析】 画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值. 【题目详解】 画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以， 所以原点到可行域上的点的最大距离为. 所以的最大值为. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 11、B 【答案解析】 根据抛物线定义得，即可解得结果. 【题目详解】 因为，所以. 故选B 【答案点睛】 本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 12、D 【答案解析】 分别解出集合然后求并集. 【题目详解】 解：， 故选：D 【答案点睛】 考查集合的并集运算，基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 易得，所以是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可. 【题目详解】 由已知，，因，所以，所以数列是以 为首项，3为公差的等差数列，故，所以. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 14、 【答案解析】 由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程． 【题目详解】 设圆的半径为，由题意可得，所以， 由题意设圆心，由题意可得， 由直线与圆相切可得，所以， 而，，所以，即，解得， 所以的最大值为2，当且仅当时取等号，可得， 所以圆心坐标为：，半径为， 所以圆的标准方程为：. 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件. 15、①③④ 【答案解析】 先利用导数求得曲线在点处的切线方程，由此求得与的递推关系式，进而证得数列是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号. 【题目详解】 ∵，∴曲线在点处的切线方程为， 则. ∵，∴， 则是首项为1，公比为的等比数列， 从而，，. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为：①③④ 【答案点睛】 本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前项和公式，属于基础题. 16、 【答案解析】 写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项. 【题目详解】 的展开式通项公式为： ， 令，所以，所以常数项为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案； （2）构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到，结合余弦定理 得到 【题目详解】 解：（1）由已知，得 又∵ ∴ ∴,因为 得 ∵ ∴. （2）∵ 又由余弦定理，得 ∴ 【答案点睛】 1.考查学生对正余弦定理的综合应用；2.能处理基本的边角转换问题；3.能利用特殊的三角函数值推特殊角，属于中档题 18、（1）；（2）见解析 【答案解析】 将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期 根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值 【题目详解】 （Ⅰ）由题意得 原式 的最小正周期为. （Ⅱ）， . 当，即时，； 当，即时， . 综上，得时，取得最小值为0； 当时，取得最大值为. 【答案点睛】 本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算正确，属于基