云南省昆明实验中学2023学年高考压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的图象如图所示，，若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合，则可取的值的是（ ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）. A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸 3．已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（ ） A． B．5 C． D．9 4．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 5．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）． A． B． C． D． 6．已知向量，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简，得.设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ） A． B． C． D． 9．若的展开式中的系数为150，则（ ） A．20 B．15 C．10 D．25 10．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）． A． B． C． D． 11．设命题p:>1,n2>2n,则p为（ ） A． B． C． D． 12．若与互为共轭复数，则（ ） A．0 B．3 C．－1 D．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________，__________. 14．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________. 15．如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________． 16．已知函数，则________；满足的的取值范围为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数. （1）当时，证明：对； （2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。 18．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. （1）求和的普通方程； （2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值. 19．（12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 20．（12分）已知函数（），是的导数. （1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点； （2）已知函数在上单调递减，求的取值范围. 21．（12分）已知函数存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数a的取值范围； （2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数） 22．（10分）已知函数. （1）若是函数的极值点，求的单调区间； （2）当时，证明： 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据图象求得函数的解析式，即可得出函数的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果. 【题目详解】 由图象可得，函数的最小正周期为，， ， 则，，取， ，则， ，，可得， 当时，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 2、B 【答案解析】 试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B. 考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积. 3、A 【答案解析】 利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值. 【题目详解】 解：∵的值域为, ∴, ∴, ∴ , 当且仅当时取等号, ∴的最小值为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 4、D 【答案解析】 设双曲线的左焦点为，连接，，，设，则，，，和中，利用勾股定理计算得到答案. 【题目详解】 设双曲线的左焦点为，连接，，， 设，则，，， ，根据对称性知四边形为矩形， 中：，即，解得； 中：，即，故，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 5、C 【答案解析】 设M,N,P分别为和的中点，得出的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可. 【题目详解】 根据题意画出图形: 设M,N,P分别为和的中点， 则的夹角为MN和NP夹角或其补角 可知，. 作BC中点Q，则为直角三角形； 中，由余弦定理得 ， 在中， 在中，由余弦定理得 所以 故选：C 【答案点睛】 此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目. 6、B 【答案解析】 由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果. 【题目详解】 解：由题意得，设与的夹角为， ， 由于向量夹角范围为：， ∴. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围. 7、B 【答案解析】 函数的图象恒在轴的上方，在上恒成立.即，即函数的图象在直线上方，先求出两者相切时的值，然后根据变化时，函数的变化趋势，从而得的范围． 【题目详解】 由题在上恒成立.即， 的图象永远在的上方， 设与的切点，则，解得， 易知越小，图象越靠上，所以. 故选：B． 【答案点睛】 本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围． 8、A 【答案解析】 分析：设三角形的直角边分别为1，，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论. 解析：设三角形的直角边分别为1，，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为. 图钉落在黄色图形内的概率为. 落在黄色图形内的图钉数大约为. 故选：A. 点睛：应用几何概型求概率的方法 建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型； (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型． 9、C 【答案解析】 通过二项式展开式的通项分析得到，即得解. 【题目详解】 由已知得， 故当时，， 于是有， 则. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10、A 【答案解析】 由平面向量基本定理，化简得，所以，即可求解，得到答案． 【题目详解】 由平面向量基本定理，化简 ，所以，即， 故选A． 【答案点睛】 本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题． 11、C 【答案解析】 根据命题的否定，可以写出：，所以选C. 12、C 【答案解析】 计算，由共轭复数的概念解得即可. 【题目详解】 ，又由共轭复数概念得：， . 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、2 4 【答案解析】 根据函数为偶函数且，所以的周期为，的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为，从而可得参数的值，最后求出函数的解析式，代入求值即可. 【题目详解】 解：因为为偶函数且，所以的周期为.因为时，，所以可作出在区间上的图象，而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，结合函数和函数在区间上的简图，可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为，所以，故. 因为， 所以.故. 故答案为：； 【答案点睛】 本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题. 14、 【答案解析】 根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解. 【题目详解】 由双曲线C：（，， 可得一条渐近线，一个顶点， 所以，解得， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 15、1 【答案解析】 试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中， ． 故答案为1． 考点：正弦定理的应用． 16、 【答案解析】 首先由分段函数的解析式代入求值即可得到，分和两种情况讨论可得； 【题目详解】 解：因为， 所以， ∵， ∴当时，满足题意，∴； 当时，由， 解得.综合可知：满足的的取值范围为. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1)见证明；(2) 【答案解析】 （1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论； （2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，