云南省楚雄彝族自治州民族中学2023学年高考数学三模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合中含有的元素个数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ） A．2 B． C． D．1 3．已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D．1 4．在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，( ) A． B．2 C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 6．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 7．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．已知复数，为的共轭复数，则（ ） A． B． C． D． 10．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知全集为R，集合，则___________. 14．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为_________. 15．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______. 16．数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，且.若任意，成立，则实数的取值范围为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某单位准备购买三台设备，型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示. 每台设备一个月中使用的易耗品的件数 6 7 8 型号A 30 30 0 频数 型号B 20 30 10 型号C 0 45 15 将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立. （1）求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率； （2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？ 18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上． （1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度． 19．（12分）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若关于的不等式在区间内无解，求实数的取值范围. 20．（12分）已知数列是等差数列，前项和为，且，． （1）求． （2）设，求数列的前项和． 21．（12分）在数列中，， （1）求数列的通项公式； （2）若存在，使得成立，求实数的最小值 22．（10分）设，函数. （1）当时，求在内的极值； （2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 2、B 【答案解析】 ，选B. 3、B 【答案解析】 过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设，将表示成关于的函数，再求函数的最值，即可得答案. 【题目详解】 过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF. 因为平面平面ABCD，所以平面ABCD， 所以. 因为底面ABCD是边长为1的正方形，，所以. 因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离. 易证平面平面ABE， 所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离. 不妨设，则，. 因为，所以， 所以，当时，等号成立. 此时EH与ED重合，所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用. 4、B 【答案解析】 由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出. 【题目详解】 由题意，直角梯形中，，，，， 可求得，所以· ∵点在线段上， 设 ， 则 ， 即， 又因为 所以， 所以， 当时，等号成立. 所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力. 5、D 【答案解析】 根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果. 【题目详解】 由已知可知，点为中点，为中点， 故可得，故可得； 代入椭圆方程可得，解得，不妨取， 故可得点的坐标为， 则，易知点坐标， 将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题. 6、C 【答案解析】 直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值． 【题目详解】 设抛物线的准线为， 直线恒过定点， 如图过A、B分别作于M，于N， 由，则， 点B为AP的中点、连接OB，则， ∴，点B的横坐标为， ∴点B的坐标为，把代入直线， 解得， 故选：C． 【答案点睛】 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题. 7、B 【答案解析】 计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和. 【题目详解】 由题意可知，则对任意的，，则，， 由，得，，， ，因此，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 8、B 【答案解析】 先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【题目详解】 双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x， ∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍， ∴kl， ∴直线l的方程为y（x﹣c）， 与y＝±x联立，可得y或y， ∵， ∴2•， ∴ab， ∴c＝2b， ∴e． 故选B． 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 9、C 【答案解析】 求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【题目详解】 . 故选：C 【答案点睛】 本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 10、D 【答案解析】 利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率. 【题目详解】 取的中点，则由得， 即； 在中，为的中位线， 所以， 所以； 由双曲线定义知，且，所以， 解得， 故选：D 【答案点睛】 本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般. 11、B 【答案解析】 根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【题目详解】 函数 则函数的最大值为2， 存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即 故答案为：B. 【答案点睛】 这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合. 12、A 【答案解析】 根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解. 【题目详解】 输入，， 因为，所以由程序框图知， 输出的值为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先化简集合A,再求A∪B得解. 【题目详解】 由题得A={0,1}, 所以A∪B={-1,0,1}. 故答案为{-1,0,1} 【答案点睛】 本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14、1 【答案解析】 设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，由抛物线定义得焦点弦长，求得，再写出的垂直平分线方程，得，从而可得结论． 【题目详解】 抛物线的焦点坐标为，直线的方程为， 据得.设， 则. 线段垂直平分线方程为，令，则，所以， 所以. 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键． 15、① 【答案解析】 由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②； 由，结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④． 【题目详解】 解：①在中，，故①正确； ②函数在区间上存在零点，比如在存在零点， 但是，故②错误； ③对于函数，若，满足， 但可能为奇函数，故③错误； ④函数与的图象，可令，即， 即有和的图象关于直线对称，即对称，故④错误． 故答案为：①． 【答案点睛】 本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题． 16、 【答案解析】 当时，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根据定义求出，再借助单调性求解． 【题目详解】 解：当时，，则，， 当时，， ， ， ， ， （当且仅当时等号成立）， ， 故答案为：． 【答