东北三省辽宁实验中学2023学年高考数学五模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）． A． B． C． D． 2．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为( ) A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（　　　 ） A． B． C． D． 7．关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先递减后递增 D．先递增后递减 8．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ） A． B．1 C． D．2 9．如图，在中， ，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知向量，且，则m=( ) A．−8 B．−6 C．6 D．8 11．如图，长方体中，，，点T在棱上，若平面.则（ ） A．1 B． C．2 D． 12．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 ． 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是______. 15．已知是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为______. 16．在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，函数（）. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. （3）证明：当时，. 18．（12分）已知a＞0，证明：1． 19．（12分）已知． （1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围； （2）求不等式的解集． 20．（12分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于. （1）求证:平面平面； （2）求二面角的余弦值. 21．（12分）已知函数，，.函数的导函数在上存在零点. 求实数的取值范围； 若存在实数，当时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值； 若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值. 22．（10分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为AB，BC的中点. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C. 2、B 【答案解析】 先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【题目详解】 双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x， ∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍， ∴kl， ∴直线l的方程为y（x﹣c）， 与y＝±x联立，可得y或y， ∵， ∴2•， ∴ab， ∴c＝2b， ∴e． 故选B． 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 3、A 【答案解析】 先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围. 【题目详解】 由题意知sin，∴， ∴，随n的增大而增大，∴, ∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数的最小值为3. 【答案点睛】 本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题. 4、D 【答案解析】 先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【题目详解】 因为，故， 当时，，故在区间上单调递减； 当时，，故在区间上单调递增； 当时，令，解得， 故在区间单调递减，在区间上单调递增. 又，且当趋近于零时，趋近于正无穷； 对函数，当时，； 根据题意，对，且，使得成立， 只需， 即可得， 解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题. 5、B 【答案解析】 根据在上投影为，以及，可得；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入即可求得. 【题目详解】 在上投影为，即 又 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值. 6、A 【答案解析】 用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选. 【题目详解】 因为 , 所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除; 因为,故排除, 因为由图象知,排除. 故选:A 【答案点睛】 本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 7、C 【答案解析】 先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【题目详解】 函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增. 故选：C 【答案点睛】 本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题. 8、D 【答案解析】 如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示建立直角坐标系，则，，，设， 则 . 当，即时等号成立. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 9、B 【答案解析】 变形为，由得，转化在中，利用三点共线可得. 【题目详解】 解：依题： ， 又三点共线， ，解得． 故选：． 【答案点睛】 本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程： 三点共线⇔ (为平面内任一点,) 10、D 【答案解析】 由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【题目详解】 ∵，又， ∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1． 故选D． 【答案点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 11、D 【答案解析】 根据线面垂直的性质，可知；结合即可证明，进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得. 【题目详解】 长方体中，， 点T在棱上，若平面. 则， 则，所以， 则， 所以 ， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 12、B 【答案解析】 取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【题目详解】 取的中点，连接、， 由和都是正三角形，得，，则，则，由勾股定理的逆定理，得. 设球心为，和的中心分别为、. 由球的性质可知：平面，平面， 又，由勾股定理得. 所以外接球半径为. 所以外接球的表面积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 试题分析：由三角函数定义知，又由诱导公式知，所以答案应填：． 考点：1、三角函数定义；2、诱导公式． 14、 【答案解析】 先由三视图在长方体中将其还原成直观图，再利用球的直径是长方体体对角线即可解决. 【题目详解】 由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示 长方体对角线长为，所以三棱锥外接球半径为，故所求外接球的 表面积. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积，考查学生空间想象能力以及基本计算能力，是一道基础题. 15、 【答案解析】 依题意可得，再根据求模，求数量积，最后根据夹角公式计算可得； 【题目详解】 解：因为是夹角为的两个单位向量 所以， 又， 所以，， 所以， 因为所以； 故答案为： 【答案点睛】 本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题. 16、①③④ 【答案解析】 对于①中，当点与点重合，与点重合时，可判断①正确；当点点与点重合，与直线所成的角最小为，可判定②不正确；根据平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，可判定③正确；四面体在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确. 【题目详解】 对于①中，当点与点重合，与点重合时，，所以①正确； 对于②中，当点点与点重合，与直线所成的角最小，此时两异面直线的夹角为，所以②不正确； 对于③中，设平面两条对角线交点为，可得平面， 平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥， 所以四面体的体积一定是定值，所以③正确； 对于④中，四面体在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义， 四面体在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确. 故答案为：①③④. 【答案点睛】 本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【答案解析】 （1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案. （2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证. （3）由（1）可知，可得，即又即可得证. 【题目详解】 （1）解：的定义域为，， 当，时，，则在上单调递增； 当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增； 当，时，，则在上单调递减； 当，时，令，得，令，