上海市黄浦区大同中学2023学年高考仿真模拟数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（ ）. A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，且，则（ ） A． B． C． D． 4．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ） A．2014年我国入境游客万人次最少 B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势 C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次 D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差 5．已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．若双曲线：绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则的离心率等于（ ） A． B． C．2或 D．2或 7．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A．180 B．90 C．45 D．360 8．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（ ） A． B． C． D． 9．已知无穷等比数列的公比为2，且，则（ ） A． B． C． D． 10．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（ ） A． B． C． D． 11．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 12．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________. 14．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人． 15．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为__________. 16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知圆：和抛物线：，为坐标原点． （1）已知直线和圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程； （2）过抛物线上一点作两直线和圆相切，且分别交抛物线于两点，若直线的斜率为，求点的坐标． 18．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足. （1）求矩阵; （2）求矩阵的特征值． 19．（12分）已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 20．（12分）等差数列的前项和为，已知，. （Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为； （Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：. 21．（12分）某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元. 年龄 （单位：岁） 保费 （单位：元） （1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值； （2）经调查，年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元，如果参保，保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁，若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？ 22．（10分）设函数. （1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围； （2）若，证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 如图，将四面体放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【题目详解】 中，易知， 翻折后, ， ， 设外接圆的半径为， ， ， 如图：易得平面，将四面体放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为， ， 四面体的外接球的表面积为. 故选：D 【答案点睛】 本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解. 2、D 【答案解析】 利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项． 【题目详解】 已知，赋值法讨论的情况： （1）当时，令，，则，，排除B、C选项； （2）当时，令，，则，排除A选项. 故选：D. 【答案点睛】 比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题． 3、A 【答案解析】 利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 【题目详解】 解：. 故选：A 【答案点睛】 本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题． 4、D 【答案解析】 ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确. 【题目详解】 A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确； B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确； C．入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确； D．由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求. 5、A 【答案解析】 若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得. 【题目详解】 解：， ∴， 设， ∴， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴， 当时，，当，， 函数恒过点， 分别画出与的图象，如图所示， ， 若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值， ∴且，即，且 ∴， 故实数m的最大值为， 故选：A 【答案点睛】 本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力. 6、C 【答案解析】 由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，所以或，由离心率公式即可算出结果. 【题目详解】 由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，又双曲线的焦点既可在轴，又可在轴上，所以或，或. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想. 7、A 【答案解析】 试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，. 考点：1.二项式定理；2.组合数的计算. 8、B 【答案解析】 由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解. 【题目详解】 由题意可知， 框图的作用是求分段函数的值域， 当； 当 综上：. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 9、A 【答案解析】 依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。 【题目详解】 因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为。 由有，，解得，所以， ，故选A。 【答案点睛】 本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。 10、D 【答案解析】 根据函数图象的变换规律可得到解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可. 【题目详解】 解：图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到 再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象 ， 故选：D 【答案点睛】 考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题. 11、C 【答案解析】 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为的等边三角形，三棱锥的高为，所以该几何体的体积，故选C． 12、B 【答案解析】 利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解. 【题目详解】 由题意易得平面, 所以, 当且仅当时等号成立, 又阳马体积的最大值为, 所以, 所以堑堵的外接球的半径, 所以外接球的体积, 故选:B 【答案点睛】 本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可． 【题目详解】 解：双曲线的右准线，渐近线， 双曲线的右准线与渐近线的交点， 交点在抛物线上， 可得：， 解得． 故答案为． 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 14． 【答案解析】 先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解. 【题目详解】 由题意，高三学生占的比例为， 所以应从高三年级学生中抽取的人数为. 【答案点睛】 本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法