2023年高考数学复习必备直线圆的方程高中数学.docx

2023年高考数学复习必备精品直线、圆的方程 一．【课标要求】 1．直线与方程 〔1〕在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素； 〔2〕理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 〔3〕根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式〔点斜式、两点式及一般式〕，体会斜截式与一次函数的关系； 2．圆与方程 回忆确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 二．【命题走向】 直线方程考察的重点是直线方程的特征值〔主要是直线的斜率、截距〕有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。 预测2023年对本讲的考察是： 〔1〕2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向； 〔2〕热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程 三．【要点精讲】 1．倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为。 2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，那么称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在 过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan〔假设x1＝x2，那么直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900〕。 4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。 名称 方程 说明 适用条件 斜截式 y=kx+b[来源:学科网ZXXK] k——斜率 b——纵截距 倾斜角为90°的直线不能用此式 点斜式 y-y0=k(x-x0) (x0，y0)——直线上 点，k——斜率 倾斜角为90°的直线不能用此式 两点式 = (x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个点 与两坐标轴平行的直线不能用此式 截距式 +=1 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 过〔0，0〕及与两坐标轴平行的直线不能用此式 一般式 Ax+By+C=0 ，，分别为斜率、横截距和纵截距 [来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:Z|xx|k.Com] A、B不能同时为零 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在〔垂直于x 轴〕的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 5．圆的方程 圆心为，半径为r的圆的标准方程为：。特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：。 圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。 二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：①、项项的系数相同且不为0，即；②、没有xy项，即B=0；③、。 四．【典例解析】 图 题型1：直线的倾斜角 例1．〔2023四川理，4〕． 直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A ) 〔Ａ〕　　〔Ｂ〕　　〔Ｃ〕　　〔Ｄ〕 【解】：∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰〔Ｃ〕，〔D〕 又∵将向右平移１个单位得，即 应选A；[来源:Z。xx。k.Com] 【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题； 【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减〞； 点评：此题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力 例2．(上海文，18)过圆的圆心，作直线分 别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四局部〔如图〕， 假设这四局部图形面积满足那么直线AB有〔 〕 〔A〕 0条 〔B〕 1条 〔C〕 2条 〔D〕 3条 【解析】由，得：，第II，IV局部的面 积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线 AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB只有一条，应选B。 【答案】B 题型2：斜率公式及应用 例3．全国Ⅰ文16〕假设直线被两平行线所截得的线段的长为，那么的倾斜角可以是 ① ② ③ ④ ⑤ 其中正确答案的序号是 .〔写出所有正确答案的序号〕 【解析】解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。 【答案】①⑤ 〔2〕过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点。 〔1〕证明点C、D和原点O在同一条直线上。[来源:学_科_网] 〔2〕当BC平行于x轴时，求点A的坐标 解析：〔1〕如图，实数x，y满足的区域为图中阴影局部〔包括边界〕，而表示点〔x，y〕与原点连线的斜率，那么直线AO的斜率最大，其中A点坐标为，此时，所以的最大值是。 点评：此题还可以设，那么，斜率k的最大值即为的最大值，但求解颇费周折。 〔2〕证明：设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x1＞1，x2＞1，点A〔x1，log8x1〕，B〔x2，log8x2〕. 因为A、B在过点O的直线上，所以， 又点C、D的坐标分别为〔x1，log2x1〕，〔x2，log2x2〕 由于log2x1＝＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2， 所以OC的斜率和OD的斜率分别为 。 由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一条直线上。 由BC平行于x轴，有log2x1＝log8x2，解得 x2＝x13 将其代入，得x13log8x1＝3x1log8x1. 由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝，于是点A的坐标为〔，log8〕. 点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等根底知识，考查运算能力和分析问题的能力 点评：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。 题型3：直线方程 例4．直线的点斜式方程为，求该直线另外三种特殊形式的方程。 解析：〔1〕将移项、展开括号后合并，即得斜截式方程。 〔2〕因为点〔2，1〕、〔0，〕均满足方程，故它们为直线上的两点。 由两点式方程得： 即 〔3〕由知：直线在y轴上的截距 又令，得 故直线的截距式方程 点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。 例5．直线经过点P〔-5，-4〕，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。 解析：设所求直线的方程为， ∵直线过点P〔-5，-4〕，，即。 又由有，即， 解方程组，得：或 故所求直线的方程为：，或。 即，或 点评：要求的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种： 〔1〕从点的坐标或中直接观察出来； 〔2〕由斜截式或截距式方程确定截距； 〔3〕在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；令得出x轴上的截距a。 总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。 题型3：直线方程综合问题 例5．〔重庆理，1〕直线与圆的位置关系为〔 〕 A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。 【答案】B[来源:学&科&网] 【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离； 【突破】：数形结合，使用点到直线的距离距离公式 例6．〔天津文，14〕假设圆与圆的公共弦长为，那么a=________. 【解析】由，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ， 利用圆心〔0，0〕到直线的距离d为，解得a=1. 【答案】1 〔2〕动圆过定点P〔1，0〕，且与定直线l：x=－1相切，点C在l上。 〔Ⅰ〕求动圆圆心的轨迹M的方程； 〔Ⅱ〕设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点。 〔i〕问：△ABC能否为正三角形？假设能，求点C的坐标；假设不能，说明理由； 〔ii〕当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。 〔Ⅰ〕解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x. 图 解法二：设M〔x，y〕，依题意有|MP|=|MN|， 所以|x+1|=。化简得：y2=4x。 〔Ⅱ〕〔i〕由题意得，直线AB的方程为y=－〔x－1〕. 由消y得3x2－10x+3=0， 解得x1=，x2=3。 所以A点坐标为〔〕，B点坐标为〔3，－2〕， |AB|=x1+x2+2=。 假设存在点C〔－1，y〕，使△ABC为正三角形，那么|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 ① ② 由①－②得42+〔y+2〕2=〔〕2+〔y－〕2， 解得y=－。 但y=－不符合①， 所以由①，②组成的方程组无解 因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形。 〔ii〕解法一：设C〔－1，y〕使△ABC成钝角三角形，由得y=2， 即当点C的坐标为〔－1，2〕时，A、B、C三点共线，故y≠2。 又|AC|2=〔－1－〕2+〔y－〕2=+y2， |BC|2=〔3+1〕2+〔y+2〕2=28+4y+y2， |AB|2=〔〕2=。 当∠CAB为钝角时，cosA=<0。 即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即， 即y>时，∠CAB为钝角 当|AC|2>|BC|2+|AB|2，即， 即y<－时，∠CBA为钝角。 又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即， 即。 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是。 解法二：以AB为直径的圆的方程为〔x－〕2+〔y+〕2=〔〕2。 圆心〔〕到直线l：x=－1的距离为， 所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G〔－1，－〕。 当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角。 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角 过点A且与AB垂直的直线方程为。 令x=－1得y=。 过点B且与AB垂直的直线方程为y+2〔x－3〕。 令x=－1得y=－。 又由解得y=2，[来源:学科网ZXXK] 所以，当点C的坐标为〔－1，2〕时，A、B、C三点共线，不构成三角形。[来源:学#科#网] 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<－或y>〔y≠2〕。 点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分表达了“注重学科知识的内在联系〞.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比拟深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。 题型4：圆的方程 例7．〔1〕△ABC的三个项点坐标分别是A〔4，1〕，B〔6，－3〕，C〔－3，0〕，求△ABC外接圆的方程。 分析：如果设圆的标准方程，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到△ABC外接圆的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，由